zupełność R, ciąg Cauchy'ego

[Natasha]

Gdzie mogę znaleźć dowody tych tw.?

1. Udowodnić, że każdy ciąg, który spełnia warunek Cauchy'ego i posiada podciąg zbieżny, jest zbieżny.
2. Przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną metryką jest zupełna.

Proszę o pomoc.

[szw1710]

W głowie - to proste.

1. Trywialne - w podciągu \(\displaystyle{ (a_{n_k})}\) ciągu \(\displaystyle{ (a_k)}\) mamy \(\displaystyle{ n_k\ge k.}\) Nierównośc trójkąta załatwia wszystko.

2. Etapy dowodu zupełności \(\displaystyle{ \RR}\): wykazujemy, że ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest ograniczony - trywialne. Następnie z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa ciąg ten zawiera podciąg zbieżny. Punkt 1. kończy dowód.

[Ein]

@szw: twierdzenie Bolzano-Weierstrassa korzysta już z zupełności \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zupełność \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wykazuje się np. za pomocą przekrojów Dedekinda.

[szw1710]

Ein, istnieją też dowody nie wymagające zupełności prostej. Np. u Rudnickiego Wykłady z analizy matematycznej..

Ale z jednym, napisanym tu implicite, należy się zgodzić Zupełność prostej, istnienie kresów, aksjomat ciągłości - to wszystko jedno i to samo.

[Ein]

Niestety, nie mam dostępu do książki Rudnickiego -- możesz powiedzieć, jak przebiega ten dowód? Mam wrażenie, że gdzieś w tle siedzi zwartość (zupełność, tw. Cantora itp.) przedziału domkniętego na prostej.

Co do drugiej linijki to oczywiście się zgadzam

[JakimPL]

Przytoczę schemat:

Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) o wyrazach rzeczywistych. Skoro jest ograniczony, to istnieje takie \(\displaystyle{ a_0}\) i \(\displaystyle{ b_0}\) rzeczywiste, że \(\displaystyle{ x_n\in[a_0,b_0]}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Jeżeli przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\) zawiera nieskończenie wyrazów, to tę samą własność mają zbiory \(\displaystyle{ \left[a, \frac{a+b}{2}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\frac{a+b}{2},b\right]}\). Indukcyjnie konstruujemy ciąg przedziałów \(\displaystyle{ P_0=[a_0,b_0]}\), \(\displaystyle{ P_1}\) itd. takich, że:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}\ P_k=[a_k,b_k],\ b_k - a_k = 2^{-k}(b_0-a_0)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}\ a_{k-1}\leqslant a_k \leqslant b_k\leqslant b_{k-1}}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}\ P_k}\) zawiera nieskończenie wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\).

Potem wyznacza się podciąg ograniczony i monotoniczny, który jest zbieżny.

[Ein]

No i właśnie ten dowód korzysta z zupełności prostej -- w ostatniej linijce stwierdzasz, że ciąg ograniczony monotoniczny ma granicę (tj. w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ (\mathbb{R},\le)}\) istnieje supremum zbioru składającego się z elementów ciągu).

[szw1710]

Ale i tak mam wrażenie, że wchodzimy w sprawę zbyt teoretycznie. Sądzę, że dowód zupełności prostej wg schematu, jaki podałem, jest w sam raz na zadanie treningowe dla studenta.