Liczby zespolone

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 25 lis 2006, o 00:02

Ech, mam mały problem. Muszę znaleźć jakieś zadania pod kątem olimpiady z liczb zespolonych, ale nie mam pojęcia gdzie ich szukać . Tak konkretnie to chodzi mi o w miarę trudne zadania na rozwiązywania geometrii liczbami zespolonymi i ciut trudniejsze układy równań. Czy ktoś mógłby mi pomóc Jeśli chodzi o samą teorię to mam już w zasadzie wszystko przygotowane.

bolo · Post autor: **bolo** » 25 lis 2006, o 00:19

1. Oblicz \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}\), korzystając "tam gdzie się da" z liczb zespolonych

2. Jaką krzywą przedstawia równanie \(\displaystyle{ |z^{2}-1|=1}\) ?

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 25 lis 2006, o 14:29

Dzięki, to się na pewno przyda.

Arek · Post autor: **Arek** » 26 lis 2006, o 11:45

Dodam może coś geometrycznego. Przedstaw inwersję jako funkcję zmiennej zespolonej (zacznij, przyjmując inwersję względem okręgu |z|=1, potem wystarczy uogólnić na dowolny okrąg).

Jaka jest dziedzina tej funkcji?
Jak wygląda wzór?
Jak udowodnić, że proste przechodzą na proste lub okręgi oraz, że okręgi przechodzą na proste lub okręgi? Kiedy proste (okręgi) przechodzą na proste, kiedy na okręgi?
(*) Udowodnić, że dowolna homografia jest złożeniem inwersji i pewnej liczby przekształceń afinicznych.

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 26 lis 2006, o 13:34

No dobra. TEGO już nie rozumiem. Sorki, że tak Cię męczę, ale mógłbyś mi powiedzieć co to jest ta inwersja i homolografia?

Arek · Post autor: **Arek** » 26 lis 2006, o 16:19

Od definicji są wikipedie lub inne takie :]

O inwersji ciekawie i wyczerpująco:

Homografia, po angielsku linear fractional transformation to taka funkcja wymierna, ale ma wszystko zespolone: see: ... ation.html

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 28 lis 2006, o 14:22

Znacie może jeszcze coś trudnego???????