Definicje matematyczne

[Kanapka142]

Witam, nigdzie nie mogę znaleźć definicji na tyle dobrej by mnie usatysfakcjonowała, a dokładnie chodzi mi o definicje:
1. całki niewłaściwej pierwszego rodzaju
2.całki podwójnej po obszarze normalnym

bardzo prosiłbym o pomoc

[janusz47]

Co to znaczy "definicja, która by mnie usatysfakcjonowała."

Proszę zajrzeć na przykład do podręcznika

Franciszek Leja Rachunek różniczkowy i całkowy.

[Kanapka142]

Nie posiadam niestety. Bardzo zależy mi szczegolnie na tej 2-- 29 cze 2019, o 19:20 --Dobra powiem w prost
Pitagoras sie mylił!!!!!
Nie ma żadnego twierdzenia Gaussa!!!
A tabliczka mnożenia sie myli!!!

[janusz47]

I.
Całki niewłaściwe I rodzaju, to całki określone na zbiorach nieograniczonych.

Przedział nieograniczony z prawej strony

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\)

1. określona w przedziale \(\displaystyle{ \langle a , + \infty )}\)

2. całkowalna w każdym przedziale \(\displaystyle{ \langle a , h \rangle, \ \ h>a}\)

to całkę niewłaściwą funkcji \(\displaystyle{ f}\) od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) definiujemy jako granicę

\(\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{h\to \infty} \int_{a}^{h}f(x)dx}\)

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Mówimy wówczas że całka ta jest zbieżna.

Przedział nieograniczony z lewej strony

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\)

1. określona w przedziale \(\displaystyle{ ( -\infty , a \rangle}\)

2. całkowalna w każdym przedziale \(\displaystyle{ \langle h, a \rangle, \ \ h<a}\)

to całkę niewłaściwą funkcji \(\displaystyle{ f}\) od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ a}\) definiujemy jako granicę

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{a} f(x)dx = \lim_{h\to -\infty} \int_{h}^{a}f(x)dx}\)

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Mówimy wówczas że całka ta jest zbieżna.

Przedział nieograniczony z obu stron

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest

1. określona na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, \infty)}\)

2. całkowalna w każdym domkniętym przedziale, to całkę niewłaściwą funkcji \(\displaystyle{ f}\) od minus do plus nieskończoności, definiujemy jako sumę dwóch całek niewłaściwych w przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty, c \rangle , \langle c, \infty ),}\) gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest dowolną liczbą

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{\infty}f(x)dx = \lim_{h\to -\infty}\int_{h}^{c} f(x) dx + \lim_{k \to \infty}\int_{c}^{k} f(x)dx}\)

o ile obie te całki są zbieżne. Zmienne \(\displaystyle{ h, k}\) są wzajemnie niezależne.

II.
Całka podwójna po obszarze normalnym

Obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ Ox}\)

Jeżeli w przedziale \(\displaystyle{ \langle a, b \rangle}\) funkcje \(\displaystyle{ p(x), q(x)}\) są ciągłe i wewnątrz tego przedziału spełniają nierówność \(\displaystyle{ p(x) < q(x),}\) to zbiór

\(\displaystyle{ G =\{ (x,y) \in \RR^2 : a \leq x \leq b, \ \ p(x) \leq y \leq q(x) \}}\)

nazywamy obszarem normalnym względem osi \(\displaystyle{ Ox.}\)

Każdy obszar normalny jest ograniczony i domknięty, zatem każda funkcja ciągła w obszarze normalnym jest w tym obszarze ograniczona.

Całka podwójna funkcji ciągłej w obszarze normalnym względem osi \(\displaystyle{ Ox}\) może być obliczona za pomocą całki iterowanej według wzoru

\(\displaystyle{ \iint_{G} f(x,y) dxdy = \int_{a}^{b}dx \int_{f(x)}^{g(x)}f(x,y)dy}\)


Obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ Oy}\)

Obszarem normalnym względem osi \(\displaystyle{ Oy}\) nazywamy zbiór

\(\displaystyle{ H = \{ (x,y) \in \RR^2: a(y) \leq x \leq b(y),\ \ p \leq y \leq q \}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ a(y), b(y)}\) są funkcjami ciągłymi względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ \langle p, q \rangle,}\) spełniającymi wewnątrz tego przedziału nierówność \(\displaystyle{ a(y)< b(y).}\)

Całkę podwójną funkcji ciągłej w obszarze normalnym względem osi \(\displaystyle{ Oy}\) możemy obliczyć za pomocą całki iterowanej z równości

\(\displaystyle{ \iint_{H} f(x,y)dx dy = \int_{p}^{q}dy \int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y) dx.}\)

Należałoby podane wyżej definicje całki niewłaściwej pierwszego rodzaju i całki podwójnej w obszarze normalnym utrwalić, rozwiązując zadania.