Czy liczba PI jest na pewno niewymierna?

[a4karo]

A skąd masz pewność, że to \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest dokładną wartością, a \(\displaystyle{ 1}\) jest?

[Analiza123]

A stąd,że liczby Pi nie można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego.
1

[a4karo]

To niczego nie tłumaczy. Postać jest kwestią przyjętego sposobu zapisu i niczym więcej. własności liczb nie zmieniają się w zależności od tego jak je zapiszesz. Stosunek długości okręgu do jego średnicy zawsze będzie taka sama i jeżeli za jednostkę przyjmiesz długość średnicy, to zawsze będzie równa 3.141592...

Nie ma żadnych przesłanek aby jedna liczba była lepsza od drugiej.

[leg14]

A liczbe 0.1 przedstawisz skonczonym ulamkiem w systemie dwojkowym?

[Analiza123]

To dlaczego akurat pi jest niewymierne?
To tak samo jak z pierwiastkiem z dwóch,za chiny nie można obliczyć a można zmierzyć i narysować przekątną kwadratu o boku 1.
Co by się stało gdyby liczba pi miała inną wartość np. 3.
0.1 to w systemie dwójkowym 0.0001100110011001

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ \pi}\) oznacza stosunek długości obwodu okręgu do średnicy, to na płaszczyźnie zawsze będzie ono równe 3.1415...
Ale weź do ręki globus i zobacz jaki jest obwód okręgu, którego promieniem jest kawałek południka od bieguna do równika (długość oczywiście liczymy po powierzchni kuli).
Ile wynosi ten stosunek?

[kruszewski]

Co by się stało gdyby liczba pi miała inną wartość np. 3.
Się by nie dało narysować koła.

[Jan Kraszewski]

To dlaczego akurat pi jest niewymierne?

... irrational

JK

[a4karo]

Co by się stało gdyby liczba pi miała inną wartość np. 3.

Gdyby jajo miało inną formę
Życie kury byłoby potworne

[SlotaWoj]

To dlaczego akurat pi jest niewymierne?
To tak samo jak z pierwiastkiem z dwóch,za chiny nie można obliczyć a można zmierzyć i narysować przekątną kwadratu o boku 1.
Co by się stało gdyby liczba pi miała inną wartość np. 3.
0.1 to w systemie dwójkowym 0.0001100110011001

1. Liczbom wymiernym odpowiadają w geometrii odcinki współmierne – podobieństwo nazw nieprzypadkowe.
   Mamy dwa odcinki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) . Krótszy z nich odmierzamy na dłuższym tyle razy, ile się da. Gdy da się to zrobić bez reszty (reszta zerowa) to koniec algorytmu. Jeśli pozostanie jakaś reszta odcinka, to jest krótsza od odcinka, który poprzednio służył do odmierzania i teraz na tym poprzednim odcinku odmierzamy tę resztę znowu tyle razy, ile się da. Gdy przedstawiony tu w skrócie algorytm zakończy w skończonej liczbie kroków (bo otrzymamy resztę zerową), to oznacza, że odcinki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są współmierne. a gdy się nie zakończy – niewspółmierne.
   Otóż już w starożytności udowodniono geometrycznie, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z bokiem kwadratu i jeśli bok kwadratu ma długość wymierną, to długość przekątnej wymierną nie jest, czyli jest niewymierna. W ten sposób odkryto liczby niewymierne i pogodzono się z tym.
   Podobnie jest z liczbą \(\displaystyle{ \pi}\) – ona nie tylko jest niewymierna, ale także

   Kod: Zaznacz cały

   https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_przest%C4%99pna

   (nie

   Kod: Zaznacz cały

   https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_algebraiczne

   , a \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą algebraiczną).
2. Matematyka jest nauką abstrakcyjną i obiekty którymi się zajmuje z założenia są idealne. Np. w geometrii punkt nie ma średnicy, prosta grubości, etc. Okrąg zawsze jest idealny, podobnie jak kwadrat.
3. Gdyby było \(\displaystyle{ \pi=3}\) , to wszechświat może by nie powstał.
4. \(\displaystyle{ 0,1_{10}=0,000(1100)_2}\) – jest ułamkiem okresowym.
5. Do narysowania (konstrukcji) okręgu liczba \(\displaystyle{ \pi}\) nie jest potrzebna. Wystarczy cyrkiel.
   Podobnie w geometrii analitycznej. Mamy okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) . Gdzie tu masz liczbę \(\displaystyle{ \pi}\).

[Analiza123]

Skoro matematyka zakłada,że koło jest idealne to niech wyznaczy liczbę Pi dla koła idealnego.
Bo skoro pomiar stosunku długości okręgu do jego średnicy był przeprowadzany na przybliżeniu koła to wyszło przybliżone Pi i to,że jest niewymierne.

[Jan Kraszewski]

Każdy pomiar jest siłą rzeczy przybliżony. Natomiast niewymierność \(\displaystyle{ \pi}\) nie ma nic wspólnego z takim czy innym pomiarem.

No i co to znaczy "wyznaczy liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) dla koła idealnego"?

JK

[Analiza123]

Idealne koło to np.cząstki elementarne np. proton i neutron,chociaż to bardziej kule.
A i jeszcze mam takie pytanie czy to co uczą w szkole to prawda, błąd pomiarowy jest równy najmniejszej podziałce na przyrządzie.
Czyli jak mamy kwadrat o boku \(\displaystyle{ 1\,cm}\) i narysujemy jego przekątną i ją zmierzymy linijką z najmniejszą podziałką jeden milimetr i otrzymamy \(\displaystyle{ 1.4\pm 0.1\,cm}\) to wychodzi nam \(\displaystyle{ 1.3}\) i \(\displaystyle{ 1.5}\) a średnia z tych pomiarów to \(\displaystyle{ 1.4}\) a pierwiastek z \(\displaystyle{ 2}\) nie jest równy \(\displaystyle{ 1.4}\).
Chociaż \(\displaystyle{ 1=0.(9)}\), to może pierwiastek z dwóch też się równa \(\displaystyle{ 1.4}\) ale raczej nie?

Czyli jak na przykład obliczamy przekątną kwadratu i wychodzi nam liczba niewymierna to wynika to z błedu pomiarowego czy po prostu tak jest.

[Jan Kraszewski]

Czyli jak na przykład obliczamy przekątną kwadratu i wychodzi nam liczba niewymierna to wynika to z błedu pomiarowego czy po prostu tak jest.

Nie rozumiem tego pytania.

JK

[Analiza123]

Dlaczego przekątna kwadratu jest niewymierna?
Wynika to z błędu pomiarowego czy po prostu tak jest.
Jakbyśmy znali dokładne wartości dwóch boków kwadratu to przekątna by była niewymierna czy wymierna.