wstęp
Oprócz powszechnie używanych systemów numerycznych, takich jak binarny, dziesiętny lub szesnastkowy, możemy użyć systemu z tysięczną podstawą. Poniżej, w linku, prezentuję tabelę podstawień dla pierwszych 1000 liczb naturalnych.
Kolejnym liczbom naturalnym odpowiednio przyporządkowane zostają cyfry dziesiętne, znaki interpunkcyjne, alfabet łaciński, grecki, hebrajski i rosyjski. Ponadto znajdują się tu także znaki, jakimi zwykle posługują się matematycy, co pozwala, podobnie jak w LaTeX, napisać dowolny tekst matematyczny. A powyżej liczb 487 (do 999) można nadal dodawać inne znaki, których nie uwzględniłem w tabeli i które możecie uznać za potrzebne.
Pozwala to ustalić bijekcję pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów zapisanych za pomocą tych symboli w postaci funkcji OT. (Teksty w językach azjatyckich można tłumaczyć na język angielski). Wśród tych tekstów znajdą się również te, które w całkowicie jednoznaczny sposób określą liczby rzeczywiste.
ROZUMOWANIE AB
Czy przepis (czyli: algorytm, wzór matematyczny, formuła lub tekst lub coś jeszcze innego, ale zapisanego na papierze, dysku, w e-mailu itp.) pozwalający wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej w sposób całkowicie jednoznaczny możemy uważać za sposób zapisu tej liczby?
Jeśli: tak -> przejdź dalej;
jeśli nie-> metoda przekątniowa nie tworzy liczby rzeczywistej, bo tak jest zapisana:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_przek%C4%85tniowa2. Czy dla utworzonego dowolnego, lecz w danym przypadku konkretnego uporządkowania, liczb rzeczywistych przekątniowa metoda Cantora ma z założenia generować liczbę rzeczywistą z dowolnie długim rozwinięciem dziesiętnym?
Jeśli: tak -> przejdź dalej i zwróć uwagę na twierdzenie poniżej i dowód zaprzeczający powyższej tezie;
jeśli nie -> metoda nie generuje liczby rzeczywistej, więc nie tworzy niczego nowego w zbiorze liczb rzeczywistych.
3. Pytania nieomalże retoryczne, ale muszą być zadane:
Czy liczby naturalne istnieją niezależnie od naszej wiedzy, osiągnięć i odkryć? Czy możemy znaleźć (odkryć) jakąś nową liczbę naturalną, której wcześniej nie było w porządku liczb naturalnych?
4. Wprowadzone Odwzorowanie Tysięczne OT, będące bijekcją pomiędzy zbiorem liczb naturalnych a zbiorem wszystkich tekstów prowadzi w konsekwencji do pk5:
5. Dla dowolnego algorytmu Cantora: istnieje takie \(\displaystyle{ n_c \in \NN}\), że \(\displaystyle{ OT(n_c)=}\) algorytm Cantora
Tw: algorytm Cantora nie generuje liczby rzeczywistej
Dw: z uporządkowanego ciągu tekstów kolejno generowanych z OT ( dla kolejnych liczb naturalnych) do naszego nowo tworzonego ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) wybieramy tylko takie, które spełniają następujące warunki:
a- Jeśli tekst pozwala wygenerować dowolną ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego może znaleźć się w ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) pod warunkiem spełnienia pk b, uzupełnionego pk c:
b- Liczba prezentowana przez tekst jest zawarta w przedziale otwartym \(\displaystyle{ (0; 1)}\)
c- Jeśli liczba posiada skończone rozwinięcie dziesiętne przekształcamy ją w rozwinięcie nieskończone przez dopisanie zer
W konsekwencji wiele tekstów zostanie odrzuconych , jako nie spełniających pk a i b, zaś tekst będący algorytmem Cantora uzyska liczbę porządkową k, która spełnia nierówność:
\(\displaystyle{ 0<k<n_c}\)
Nie potrzebujemy zajmować się w tej chwili liczbami z ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) o numerach porządkowych mniejszych od \(\displaystyle{ k}\), bo to dość trywialne i niezmieniające sedna dowodu. Przejdźmy do \(\displaystyle{ k}\), zakładając, że wszystkie wcześniej występujące liczby generowały kolejne cyfry wg algorytmu Cantora.
Zgodnie z procedurą zapisaną w algorytmie Cantora, należy zmienić \(\displaystyle{ k}\)-tą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ k}\)-tej liczby w ciągu tworzonych cyfr na inną, a to jest niemożliwe ponieważ nie ma tam żadnej cyfry! Zadanie zmiany jest niewykonalne z powodu odwołania się do samego siebie, czyli jest zadaniem autoreferencyjnym. I z tego powodu tekst odpowiadający liczbie naturalnej \(\displaystyle{ n_c}\), jako \(\displaystyle{ OT(n_c)}\), nazwany algorytmem Cantora, nie generuje dowolnej ilości cyfr rozwinięcia dziesiętnego i nie może być, zgodnie z pk 1, zaliczony do liczb rzeczywistych i umieszczony na \(\displaystyle{ k}\)-tej pozycji w ciągu \(\displaystyle{ b_n}\). cbdo
Po odrzuceniu tekstu algorytmu Cantora, jako niegenerującego jakiejkolwiek liczby, możemy kontynuować tworzenie naszego ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), analizując teksty odpowiadające liczbom naturalnym większym od \(\displaystyle{ n_c}\), ale nie możemy zaśpiewać: " Polacy, nic się nie stało" i użyć odrzuconego wcześniej algorytmu Cantora do stworzenia nowej, nieznanej nikomu do tej pory liczby i w dodatku nieznajdującej się w tworzonym przez nas ciągu.
Mogę też się założyć o 1000zł, że nikt mi nie poda żadnej liczby rzeczywistej z tego przedziału, która nie byłaby umieszczona w tworzonym przeze mnie ciągu!
