Liczby trójkątne - problemat spędzający sen z powiek

[Premislav]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ T_n= \frac{n(n+1)}{2}}\).
Moja metoda: ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }T_n=+\infty}\), bo dodajemy coraz większe liczby (ładny dowód, prawda?) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n(n+1)}{2}=+\infty}\), to teza zachodzi dla dowolnie dużych \(\displaystyle{ n}\), bo granice wyrażeń się zgadzają. Więc mogę wziąć \(\displaystyle{ n=+\infty}\) i teza jest oki doki.
Następnie pokazuję, że jeśli teza jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), to także jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n-1}\), bo wówczas:
\(\displaystyle{ T_n=T_{n-1}+n= \frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2}+n}\), a po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 77}\) i obustronnym odjęciu \(\displaystyle{ \frac{n}{77}}\), a nareszcie pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 77}\) dostajemy \(\displaystyle{ T_{n-1}= \frac{n(n-1)}{2}}\), włala!

Bardzo proszę o skomentowanie mojego rozwiązania. Czy coś trzeba tu lepiej opisać? Bo uważam, że metoda jest wizjonerska.


oczywiście to wszystko pisałem dla beki, pozdrawiam.

[a4karo]

Ale wiesz, że to mogą dzieci czytać?

[Premislav]

Dzięki za odświeżenie tematu, teraz rozumiem swój błąd. Poprawny dowód:

indukcja po \(\displaystyle{ n\in \NN}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ T_1= \frac{1\cdot 2}{2}=1}\), zgadza się.

Drugi krok indukcyjny: załóżmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ T_n= \frac{n(n+1)}{2}}\). Chcemy pokazać, że wtedy \(\displaystyle{ T_{n+1}= \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)
Skoro z założenia indukcyjnego mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ T_n= \frac{n(n+1)}{2}}\), to wystarczy wziąć \(\displaystyle{ n=n+1}\) i mamy tezę.
Co kończy dowód.

Czy jest poprawnie???-- 9 sty 2017, o 21:20 --Aha, adnotacja:
dzieci (okres dziecięcy kończy się około 12.13. roku życia, a może i czasem 11.) - nie róbcie tego w domu.

[arek1357]

Mój komentarz:

,,Ale odjazd"