Dlaczego 0!=1?

[Jarmil]

NAPISAŁEM ŻE W DEFINICJI SILNI NIE MA ZAŁOŻENIA 0!=1, dlatego ten przypadek wynika z tej definicji. Chyba nie widzisz różnicy między założeniami a definicją. Z punktu definicji, nie mogą wynikać jej założenia.
Jeśli ktoś czegoś nienawidzi to nie zwraca uwagi na to czy ma to sens, może twierdzić że nie ma, bez względu na swoją inteligencję.

Dobra chłopie, jeszcze mało wiesz o świecie, ludziach i matematyce, także więcej pokory. Teraz uczysz się od innych, potem inni będą od Ciebie.

[Kaf]

W definicji jest obecne, że 0!=1, inaczej definicja jest niekompletna. Pokaż proszę Twoją definicję silni.

Ktoś może nie lubić matematyki, ale jednak nie może stwierdzić, że coś nie mającego sensu może być tak przydatne.

[Jarmil]

Jedyne niezbędne założenia o silni to to, że n należy do liczb naturalnych z zerem, oraz definicja samej funkcji:
n!=n*(n-1)*...*2*1
Nic innego nie jest tutaj potrzebne.
A dowodem na to że "założenie" 0!=1 jest nadmiarowe(zdaje się definicja z wiki:P), niech będzie fakt że z tamtych dwóch założeń wynika wartość 0!. Podobnie można pokazać że dla dowolnego k mamy 0![k]=1.

Można uogólnić pojęcie silni wyższych stopni:
n,k,C to liczby naturalne.
Definicja funkcji:
f(n,k)=n![k]

*Jeśli k<n
-oraz n mod k=0
czyli n/k=C
to:
f(n,k)=n![k]=(n-k)(n-2k)...(n-(C-1)k)

-dla n mod k =r różne od 0
czyli n/k=C+r/k
wtedy:
f(n,k)=n![k]=(n-k)(n-2k)...r

*dla k>=n (z tego będziemy korzystali)
n![k]=n

Teraz pokażemy że:
0![k]=1

(n-k)![k]=n![k]/n

n-k=0
n=k
to przypadek
n![k]=n

czyli zgodnie z definicją:
k![k]=k=n
k![k]/n=n/n=1

stąd:
0![k]=1, niezależnie od k.-- 21 sie 2014, o 19:46 --Jeśli człowiek czegoś nienawidzi to nie zastanawia się nad tym jakie to przydatne światu jeśli sam z tego bezpośrednio nie korzysta. Nie wiem jak Ci mam to wytłumaczyć prościej.

[Kaf]

Twoja definicja silni pojedynczej działa tylko dla liczby naturalnych większych od zera. Zdefiniować silnię zero trzeba osobno. Jaką ona wartość przyjmie, zależy tylko od tego, do czego jest ona na potrzebna. Jeżeli zachodzi potrzeba rozszerzenia definicji, to to co dodamy powinno zachowywać pewne pożądane własności. Przykłady już w tym temacie padły.

Twój dowód/uzasadnienie faktu, że \(\displaystyle{ 0!=1}\) polega na tym, że stosujesz tożsamość \(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\). Jednak do tego potrzeba dowieść tej tożsamości, a bez odwoływania się do \(\displaystyle{ 0!}\) działa ona tylko dla \(\displaystyle{ n>1}\). Z tego powodu to przejście jest niepoprawne, ale w pewnym sensie zgodne z intuicją, bowiem rozszerzamy silnię z liczb naturalnych (bez zera) do liczb naturalnych z zerem. Jest to więc tylko intuicyjne uzasadnienie, jak to sam zresztą ująłeś.

To przejście jest po prostu formalnie niepoprawne. Tylko o to mi chodziło, o nic więcej.

PS: Czy napiszesz ten artykuł do Kompendium? Warto, żeby ta tożsamość się tam znalazła.

---
Co do ludzi inteligentnych: człowiek inteligentny powinien (wedle mojego obrazu człowieka inteligentnego) mieć przynajmniej podstawową wiedzę o nauce i świecie. Mając zaś podstawową wiedzę, powinien wiedzieć, że matematyka jednak jest przydatna tu i ówdzie. Niemniej jest to moje zdanie i każdy ma prawo mieć inne. Zakończmy więc proszę dyskusję na ten temat.

[Jarmil]

Kef, tożsamość o którą się opierałem
n!/n=(n-1)!
wynika jedynie z faktu że
n!=n*(n-1)*...*2*1

Nie potrzebna jest tutaj tożsamość 0!=1, nie widzisz tego?
Dlatego to jest nadmiarowe i zawieranie tego w założeniach jest błędem. Jeśli coś wynika z definicji to jest zbędne przy jej definiowaniu.
to tak jakby w definicji silni zawrzeć
n!=n*(n-1)*...*2*1
oraz
n!/n=(n-1)!
rozumiesz że skoro druga tożsamość wynika z definicji, to bezsensu ją w niej umieszczać...

To część większego problemu, jeśli skończę to ją gdzieś opublikuje.

Co do ludzi, to mówię Ci o tym jaka jest rzeczywistość, a nie co mi się wydaje. Z czasem zrozumiesz.

[Kaf]

Tożsamość \(\displaystyle{ n!=1\cdot ...\cdot n}\) jest prawdziwa (i sensowna) tylko dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Na jej podstawie wnioskujesz, że \(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Nie jest to poprawne. Zdefiniujmy operację jednoargumentową * określoną na zbiorze liczb naturalnych z zerem następująco:
\(\displaystyle{ *0=1729, *1=1}\) i dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\): \(\displaystyle{ *(n+1)=*n \cdot (n+1)}\)
Jest spełniona tożsamość \(\displaystyle{ *n=1\cdot ...\cdot n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\), ale \(\displaystyle{ *(n-1)= \frac{*n}{n}}\) już nie.

[Jarmil]

Dobra zróbmy tak:
(m-1)!=m!/m

w tym wyrażeniu n=m-1 i m-1 przyjmuje wszystkie cechy n. Nie wiemy jednak jaka będzie wartość i czy w ogóle jakaś będzie dla n=0 , czyli m=1, więc stosując wzór oparty o definicję silni, sprawdzamy taki przypadek.(wykorzystaliśmy definicję i zmieniliśmy zmienną) Chodzi o to że poprawność n=0 nie jest wprost widoczna ale ona siedzi w definicji, co demonstrowałem. Jeśli opierając się jedynie na n!=n*...*1 mogę wyprowadzić 0!=1 to znaczy że definiowanie tego przypadku jest nadmiarowe.

Oczywistym jest że dla n=0
i zapisie
(n-1)!=n!/n

Takie wyrażenie nie jest prawdziwe, ale dla definicji oznaczałoby to -1 a dzięki temu wyrażeniu widać od razu że takiego argumentu n! nie przyjmuje, trzeba by było dzielić przez 0. Czyli pomimo tego że równanie dla n=0 jest niepoprawne, również informuje nas o dziedzinie silni, o co nam w zasadzie chodziło. Jest coś takiego jak implikacja w której zdanie poprzedzające może być nieprawdziwe ale jeśli wynika z tego prawda całe zdanie jest prawdziwe. Tutaj mielibyśmy wyprowadzenie przypadku na podstawie wzoru który bezpośrednio nie przyjmuje takiej wartości, ale wynikła z tego prawda jeśli ufając arytmetyce, więc metoda jest prawidłowa. Trzeba rozgraniczyć zmienną n od idei funkcji silni, wtedy nic nie będzie Cię martwiło.

-- 22 sie 2014, o 00:35 --

Po prostu z n!=n*...*1 a z tego (n-1)!=n!/n wynika jednoznacznie 0!=1, NIE MOŻE BYĆ DOWOLNE, jeśli nie można by tego przypadku wyprowadzić z tej definicji, to wtedy owszem można by sobie ją dowolnie zdefiniować w ramach tej funkcji, albo właśnie przyjąć jakąś wartość, ale w przypadku SILNI TAK NIE JEST, CO ZOSTAŁO WYRAŹNIE POKAZANE. 0! jest jedno i nie może być inne! Chyba że arytmetyka się myli.
Definicja z wiki jest błędna.

Każdy może sobie coś zdefiniować żeby pasowało do tego co mu się wydaje. Ale z matematyką się tak nie pracuje. Nie mówiąc że taka konstrukcja jak Twoja nie jest spójna, można by ją rozpatrywać osobno dla n=0 i osobno dla reszty n, nie ma spójności takiej funkcji na całym przedziale, bo 0 z niczego nie wynika, poza sztucznym założeniem, w ramach samego punktu n=0 możesz sobie ją analizować, reszta enów to inna para kaloszy. Z silnią jest jednak tak że definicję można rozciągać na całą dziedzinę tej funkcji, choć n=0 nie jest tak oczywiste, ale wynika z definicji, przez co ujmowanie tego przypadku w definicji jest nadmiarowe.

-- 22 sie 2014, o 01:04 --

Podobnie nie trzeba ujmować w definicji żadnych przypadków x^2.

albo funkcja wykładnicza:
a^0=1 to również wynika z działania tej funkcji:

a*a^-1=a^(1-1)=a^0=1
a*a^-1=a/a=1

-- 22 sie 2014, o 01:08 --

Nawet i^2=-1 można pokazać dlaczego tak jest. Chociaż to założenie z którego wynika ten ogrom ciekawych konsekwencji.

[Kaf]

Eh... Napiszę to jeszcze raz: Twój sposób pokazania, że \(\displaystyle{ 0!=1}\) NIE jest dowodem, nie jest poprawny z matematycznego punktu widzenia! Twój sposób jest UZASADNIENIEM, dlaczego wybraliśmy taką wartość \(\displaystyle{ 0!}\) a nie inną. Pokazałeś tożsamość\(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\), która bez odwoływania się do \(\displaystyle{ 0!}\) można udowodnić tylko dla \(\displaystyle{ n>1}\).
Gdy nie mamy silni zero, to sprawdzamy, co się stanie, gdy wstawimy jeden do tej tożsamości. A stanie się tyle, że otrzymamy\(\displaystyle{ 0!=1}\). To daje nam informację, jak sensownie przedłużyć silnię. Powyższe działanie *, które też jest przedłużeniem silni, także spełnia tą tożsamość \(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\), ale dla \(\displaystyle{ n=1}\) już nie. Dlatego można uznać normalną silnię za bardziej sensowne przedłużenie, ale nie jako jedyne.
Gdy zdefiniowaliśmy silnię zero, to takie rozumowanie jest zbędne. Ile wynosi \(\displaystyle{ 0!}\) wynika z definicji. Dlaczego tyle wynosi, dlaczego taką wartość przyjęliśmy wynika z tego, co napisałeś i co powyżej przytoczyłem.

Tyle. Pokazałeś uzasadnienie, przydatne dla osoby chcącej poznać przesłanki, dlaczego tak zdefiniowaliśmy. Nie dowód. Tylko o tyle mi chodziło, tylko o to miałem pretensje. Kończę dyskusję i czekam na Twoją publikację

[yorgin]

Jarmil,

1. Nie mam już siły poprawiać Twoich nieczytelnych postów. Kolejne trafią do kosza...

2. Niczego nie pokazałeś. To wszystko jest konsekwencją definicji i tak jak pisał Kaf, \(\displaystyle{ 0!}\) nie jest czymś, co się sensownie "wyznacza", lecz definiuje. Definiuje tak, by definicja ta miała sens i była współmierna do innych przesłanek, o których pisałem w punktach 2 i 3 poprzedniego posta.

Pytanie o \(\displaystyle{ 0!!}\) to znów pytanie o definicję operacji \(\displaystyle{ !!}\). Definicje rekurencyjne muszą mieć punkt startu taki, by jednoznacznie wyznaczony został ciąg liczbowy generowany przez tę rekurencję. Tak samo jest z silnią, czy z podwójną silnią.

Definicja silni \(\displaystyle{ n!=\prod\limits_{k=1}^n k}\) jest równoważna rekurencyjnej definicji \(\displaystyle{ n!= \begin{cases} 1 & n=1\\ n\cdot (n-1)! & n>1 \end{cases}}\) i żadna z tych definicji nie obejmuje przypadku \(\displaystyle{ 0!=\ldots}\).

Ja podałem trzy dowody na to, że \(\displaystyle{ 0!=1}\). Tak naprawdę dwa z nich to przesłanki za poprawnością przyjęcia, że \(\displaystyle{ 0!=1}\).

3.

Nawet \(\displaystyle{ i^2=-1}\)można pokazać dlaczego tak jest.

Więc, dlaczego tak jest?

Kaf,

1. \(\displaystyle{ 1729}\) raczej nie było przypadkowe?

2. Wiesz, że czasem i z pustego Salomon nie naleje?

[Kaf]

1. Nieprzypadkowo użyłem akurat tej liczby Jest to najmniejsza liczba naturalna, którą można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa istotnie różne sposoby (co wie chyba każdy, kto słyszał o Ramanujanie).
2. Wiem. Ale bardziej chciałbym wiedzieć, jaki jest związek tego z tematem

[AiDi]

Nawet i^2=-1 można pokazać dlaczego tak jest.

No chyba nie. Definicja to definicja i choć nawet można ją ładnie zwizualizować i pokazać jakąś motywację za nią stojącą, to wciąż nie będzie pokazanie dlaczego tak jest.

[yorgin]

AiDi, ja jednak się bedę upierać na chęci zobaczenia dowodu na to, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

[Jarmil]

Kef, przeczytaj uważnie co teraz napisze i spróbuj zrozumieć: JEŚLI WYNIKA COŚ Z DEFINICJI TO NIE TRZEBA NICZEGO WYBIERAĆ, CZY DEFINIOWAĆ, CZY JEST TO DOŚĆ JASNE? Z kimś kto prezentuje taką niekompetencję, nie będę rozmawiał co jest poprawne matematycznie, a co nie. Wybacz skoro nie rozumiesz logicznego stwierdzenia i piszesz w kółko te same "głupoty", bez zastanowienia. Co bym nie napisał, to ciągle to samo, kiedy pokazuje Ci że nie masz racji, co wynika z prostej logiki. Nabierzesz doświadczenia wtedy porozmawiamy sensownie.

yorgin, do kosza to możesz wywalać swoje posty. To że czegoś nie rozumiesz, nie znaczy że możesz sobie coś usuwać. Dlaczego ograniczenie jednej osoby, czy jakieś jej problemy do mojej osoby, mają wpływać na to co zostanie z tego co napisałem? Tak tutaj robicie ? Przypomina mi to jakiś rodzaj dyktatury, jednej osobie się coś nie podoba, to kasuje.
Żałuję tylko że poświęciłem Ci tyle czasu na wyprowadzenie tamtego wzoru żeby to w tym języku napisać. Skoro nie masz jakiś elementarnych zasad, i poczucia przyzwoitości, a w tym problemy z inteligencją, skoro piszesz takie rzeczy, więcej się do ciebie nie odnoszę. Po prostu z ignorancją i prostactwem formatu który zaprezentowałeś, nie mam zamiaru dyskutować.

1. Nieprzypadkowo użyłem akurat tej liczby Jest to najmniejsza liczba naturalna, którą można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na dwa istotnie różne sposoby (co wie chyba każdy, kto słyszał o Ramanujanie).

Nie ma to związku z silnią w tym sensie liczba była przypadkowa. Nie wynika z definicji jak 0!=1.

Czy są tu ludzie z którymi nie będę musiał przekomarzać się ciągle o głupoty, tylko będzie można porozmawiać wartościowo o matematyce ?-- 22 sie 2014, o 15:50 --Z jakiej racji temat został przeniesiony do śmieci? Po prostu załamuję ręce przed poziomem głupoty. Jednej osobie się coś wydaje i ma prawo robić takie rzeczy.. gdzie ja jestem

[Kaf]

Na argumenty ad personam nie zamierzam odpowiadać.

JEŚLI WYNIKA COŚ Z DEFINICJI TO NIE TRZEBA NICZEGO WYBIERAĆ, CZY DEFINIOWAĆ, CZY JEST TO DOŚĆ JASNE?

Coś wynika z definicji oczywiście dlatego, że tak to zdefiniowaliśmy. Zdefiniowałeś silnię liczby \(\displaystyle{ n}\) jako \(\displaystyle{ n!=1\cdot ... n}\).
1. To wyrażenie nie ma sensu dla \(\displaystyle{ n=0}\) toteż \(\displaystyle{ 0!}\) NIE JEST ZDEFINIOWANE.
2. Wyciągasz z tej definicji wniosek, że \(\displaystyle{ (n-1)!=\frac{n!}{n}}\), ale to wyciągnięcie wniosku działa tylko dla \(\displaystyle{ n>1}\). Z definicji, którą przyjąłeś i która działa tylko dla \(\displaystyle{ n>0}\) wnioskujesz jaka jest wartość silni zero, co nie jest poprawne. Możesz tylko wyciągnąć wniosek jaka powinna być jej wartość. NIE WYNIKA Z TEJ DEFINICJI (która jest poprawna tylko dla \(\displaystyle{ n>0}\)), ŻE \(\displaystyle{ 0!=1}\) (przepraszam za duże litery, ale widać małe nie docierają).
Odnosiłem się konkretnie do tego co napisałeś, zrób więc proszę to samo i odnieś się do punktu 1. i 2.

Na forum obowiązują pewne zasady. Stosowanie LaTeXu do nich należy. Skoro się do nich nie stosujesz, yorgin ma prawo kasować Twoje posty.

---
Nie Kosz tylko Hide Park, który jest zdecydowanie lepszym działem na tę dyskusję.

[Jarmil]

Mylisz dwa pojęcia, definicję z założeniami, a przypadki w ramach definicji. Założenia nie mogą wynikać z definicji, jeśli tak jest są nadmiarowe. Przykładowo:

mamy ciąg arytmetyczny, który definiujemy jako f(n) i zakładamy a1. Wtedy nie można powiedzieć że z f(n) wynika a1, bo a1 jest częścią f(n) bez której f(n) w takiej postaci nie istnieje! Z tego wniosek że a1 było niezbędnym założeniem!

Jeśli coś wynika z definicji to jest nadmiarowe w jej założeniach. Co więcej jest to błąd logiczny.

-- 22 sie 2014, o 16:44 --

Co z tego że bezpośrednio do wyrażenia n!=n*...*1 nie możesz wstawić 0 ? Skoro prosty wniosek w postaci (n-1)!=n!/n pokazuje że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje 0, z czego wynik wartość 1.-- 22 sie 2014, o 16:51 --Masz rację że ta dyskusja nie ma większego sensu, ale mój wzór ma, a został również przeniesiony, o to mi chodzi że przez niekompetencje jakieś jednej osoby, dochodzi to tak głupich działań.