Dlaczego 0!=1?

[yorgin]

Zgadzam się że przypadek k^m już jest trudniejszy i trzeba trochę więcej pisać... jak kogoś interesuje to mogę podać moje wyprowadzenia.

Mnie to zaciekawi. Ja potrafię tylko tak, jak jest to zrobione na

A Twoja ostatnia uwaga jest błędna bo 0^0 to symbol nieoznaczony i w zasadzie nie wiadomo ile to wynosi
chociaż jakby wpisać to w dwumian newtona
\(\displaystyle{ \left( a-a\right)^0= \sum_{k=0}^{0} {0 \choose k}a^ka^{0-k}(-1)^k=1}\)

No więc wiadomo, czy nie wiadomo? \(\displaystyle{ 0^0}\) jest istotnie wyrażeniem nieoznaczonym, ale kiedy mówimy o symbolach nieoznaczonych? Przy granicach ciągów/funkcji.

wiesz jak pokazać że 0!=1 ?

Co najmniej trzy sposoby:

1. Bo tak się to definiuje.

2. \(\displaystyle{ n!}\) to liczba permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego. Zbiór pusty \(\displaystyle{ (n=0)}\) można spermutować na jeden sposbów.

3. Wiadomo, że \(\displaystyle{ {n\choose k}=\frac{n!}{(n-k!)k!}}\). Stąd \(\displaystyle{ 1={1\choose 1}=\frac{1!}{1!0!}}\), a więc aby wyrażenie miało sens, \(\displaystyle{ 0!=1}\).

[Jarmil]

Ja wyprowadzam to przez "rachunek sum". Dla przypadku gdy n jest parzysty i nieparzysty, mamy taki sam wzór, ale żeby to pokazać musiałem wyprowadzić dla obu, jednak tutaj przedstawie prostszy przypadek dla n parzystego. Nie będę rozpisywał się nad wyjaśnianiem wyprowadzenia, jeśli ktoś będzie miał jakieś pytania, albo uwagi to proszę pisać poniżej.

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^m= \sum_{k=1}^{ \frac{n}{2} }(2k-1)^m + \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } (2k)^m= \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=0}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\} + 2^m \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m= 2^m \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m + \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\} + 2^m \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\} + 2^{m+1} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\} + 2^{m+1} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^m-2^{m+1} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\}}\)

\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n} k^m-2^{m+1} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m= \sum_{k=1}^{n} k^m-2\sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m-(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m= \sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n} k^m-\sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m-(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2} }\left( k+\frac{n}{2}\right) ^m-\sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m-(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m+\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( \frac{n}{2}\right) ^i\right\} - \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m-(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( \frac{n}{2}\right) ^i\right\} -(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( \frac{n}{2}\right) ^i\right\} -(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\}}\)


\(\displaystyle{ -(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\}-\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( \frac{n}{2}\right) ^i\right\}}\)

\(\displaystyle{ P=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}(2k)^{m-i}(-1)^i\right\}-\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( \frac{n}{2}\right) ^i\right\}=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}\frac{k^{m-i}}{2^i}\left( 2^m(-1)^i-n^i\right) \right\}}\)

\(\displaystyle{ -(2^{m+1}-2) \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}\frac{k^{m-i}}{2^i}\left( 2^m(-1)^i-n^i\right) \right\}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\frac{n}{2} } k^m=\frac{1}{2^{m+1}-2 }\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}\frac{k^{m-i}}{2^i}\left( n^i-2^m(-1)^i\right) \right\}}\)

\(\displaystyle{ \frac{n}{2}=n1}\)

\(\displaystyle{ n=2n1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n1 } k^m=\frac{1}{2^{m+1}-2 }\sum_{k=1}^{n1} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( n1^i-2^{m-i}(-1)^i\right) \right\}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n } k^m=\frac{1}{2^{m+1}-2 }\sum_{k=1}^{n} \left\{ \sum_{i=1}^{m} {m \choose i}k^{m-i}\left( n^i-2^{m-i}(-1)^i\right) \right\}}\)

1. W matematyce każde założenie się z czegoś bierze. Musi mieć jakąś konkretną przyczynę.
2. Skąd wiadomo że zbiór pusty można w ogóle spermutować ?
3. Żeby wyrażenie miało sens ?

Napisałeś przesłanki które nie dowodzą, jedynie mogą wskazywać że tak jest. Chodzi mi o dowód tego przypadku. Ja wpadłem na bardzo prosty, a konkretnie pokazuje że tak jest.

\(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\)
interesuje mnie 0! więc:

\(\displaystyle{ n-1= 0}\)
\(\displaystyle{ n= 1}\)

\(\displaystyle{ (1-1)!= \frac{1!}{1} =1}\)

Korzystając z działania silni, a nie jakiś innych teorii czy wzorów, pokazuje że 0! jest równa 1.-- 21 sie 2014, o 17:21 --Można w ten sposób pokazać że 0!!, 0!!! itd jest równa 1

[Kaf]

Napisałeś przesłanki które nie dowodzą, jedynie mogą wskazywać że tak jest. Chodzi mi o dowód tego przypadku. Ja wpadłem na bardzo prosty, a konkretnie pokazuje że tak jest.

\(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\)
interesuje mnie 0! więc:

\(\displaystyle{ n-1= 0}\)
\(\displaystyle{ n= 1}\)

\(\displaystyle{ (1-1)!= \frac{1!}{1} =1}\)

Korzystając z działania silni, a nie jakiś innych teorii czy wzorów, pokazuje że 0! jest równa 1.

Akurat Twój "dowód" jest równie mocny jak 3. przesłanka yorgina. Jak bowiem dowiedziesz, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\)? Nie dowiedziesz tego bez korzystania jawnie z wartości \(\displaystyle{ 0!}\).

[Jarmil]

zobacz

mam \(\displaystyle{ (n-1)!=\frac{n!}{n}}\)

Interesuje mnie przypadek \(\displaystyle{ 0!}\) więc \(\displaystyle{ n-1=0 \rightarrow n=1}\)

teraz wstawiam to \(\displaystyle{ n}\) i zauważ że

\(\displaystyle{ \frac{n!}{n}= \frac{1!}{1} =1}\)

Także bez znajomości \(\displaystyle{ 0!}\) pokazałem to na przypadkach które znam i są oczywiste.
Druga sprawa jakbyś udowodnił \(\displaystyle{ 0!!=1}\) czy silnie wyższego stopnia ? moją metodą, sprowadzając przypadek \(\displaystyle{ 0!!}\) do przypadków które są "oczywiste", można pokazać to bez znajomości działania z zerem.

[Kaf]

Jak bowiem dowiedziesz, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ (n-1)!= \frac{n!}{n}}\)?

[Jarmil]

Trzeba to dowodzić? Skoro wynika to bezpośrednio z definicji silni, chodzi o to że \(\displaystyle{ 0!}\) nie jest tak oczywista jak np \(\displaystyle{ 1!}\) chociaż nie twierdzę przecież że \(\displaystyle{ 0!}\) nie wynika z samej definicji ? O to w tym chodzi.

-- 21 sie 2014, o 17:47 --

Kolega nie skorzystał z definicji silni tylko z pojęcia które było z nią związane... Inaczej mówić bez znajomości \(\displaystyle{ 0!}\) nie można by wyznaczyć tamtego wyrażenia. W moim przypadku, właśnie tego dokonałem, nie wiedziałem ile jest 0! ale to wyliczyłem sprowadzając do oczywistych przypadków jak \(\displaystyle{ 1!}\). Nie wiem co tutaj jest niejasne?

[Kaf]

W matematyce, jeżeli chcesz z czegoś skorzystać, to musisz to dowieść.

chociaż nie twierdzę przecież że 0! nie wynika z samej definicji ?

Jeżeli wynika z definicji, to Twój dowód jest jak podróż z Katowic do Gdańska przez Sztokholm. Jeżeli nie wynika, to znaczy że \(\displaystyle{ 0!}\) nie jest zdefiniowane, czyli że nie istnieje.

[Jarmil]

Wynika z definicji ale nie w tak oczywisty sposób jak \(\displaystyle{ 1!}\), stąd tamte "wyjaśnienia" które nie uderzają w sedno problemu, są jedynie przesłankami które mogą wskazywać że tak jest, ja wykorzystując z definicji silni pokazałem konkretnie że \(\displaystyle{ 0!=1}\).

[Kaf]

A jak definiujesz silnię?

Kolega nie skorzystał z definicji silni tylko z pojęcia które było z nią związane... Inaczej mówić bez znajomości 0! nie można by wyznaczyć tamtego wyrażenia. W moim przypadku, właśnie tego dokonałem, nie wiedziałem ile jest 0! ale to wyliczyłem sprowadzając do oczywistych przypadków jak 1! . Nie wiem co tutaj jest niejasne?

Jeżeli nie definiujesz \(\displaystyle{ 0!}\), to tożsamości Twoja i yorgina stanowią pewną własność, która podpowiada jak przedłużyć silnię, by obejmowała także zero.

[Jarmil]

Dowód to mocne słowo, po prostu pokazałem dlaczego \(\displaystyle{ 0!=1}\).

Zapytałem Cie również jakbyś pokazał że \(\displaystyle{ 0!!=1}\) ? Rozpisz to tak, aby ktoś kto tego nie wie, mógł to zrozumieć, a nie musiał wierzyć Ci na słowo.

[Kaf]

To, że \(\displaystyle{ 0!!=1}\) wynika z definicji podwójnej silni. Koniec dowodu. Czym innym jest pokazanie, dlaczego jakiś byt się tak a nie inaczej się zachowuje (co wynika z jego definicji, w taki czy bardziej pokręcony sposób), a czym innym dlaczego go takim tworzymy, definiujemy (co wynika z tego dlaczego go wprowadzamy).

[Jarmil]

Druga sprawa po co odwoływać się do innych pojęć i zaciemniać sens, skoro wszystko można pokazać z definicji silni, zrobić to konkretnie, a nie na zasadzie "gdyby".

Jeszcze raz powtórzę, masz przed sobą osobę która nie siedzie w matematyce i masz jej wyjaśnić dlaczego 0!!. Jeśli twoja odpowiedź brzmi bo tak to zdefiniowano, w takiej osobie rodzi się przekonanie że trzeba to wykuć na pamięć, nie da się tego zrozumieć, jak to bywało w szkole, gdzie uważam jest duże zaniedbanie pod tym względem i ludzie kończą szkołę z przekonaniem że aby poznać jakiś wzór trzeba go wykuć. Przez takie podejście nauczycieli, wielu inteligentnych ludzi uważa że matematyka jest bezsensu. Jakbym nie powiedział Ci że 0!!! albo wyższego stopnia =1 to ciekawe czy sam byś to wiedział. Doświadczenie nauczyło mnie że w matematyce trzeba wszystko pokazać, inaczej można się bardzo pomylić. Chociaż sama intuicja jest potrzebna, żeby nadać odpowiedni kierunek dociekań.-- 21 sie 2014, o 18:22 --Tym sposobem mój post nad którym pracowałem tyle czasu został wchłonięty.. no dzięki Kaf.

[Kaf]

\(\displaystyle{ 0!!=1}\) dlatego, że tak zdefiniowaliśmy. A zdefiniowaliśmy tak dlatego, żeby była dla każdej liczby \(\displaystyle{ n}\) zachowana np. własność \(\displaystyle{ (2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}}\).

Tym sposobem mój post nad którym pracowałem tyle czasu został wchłonięty.. no dzięki Kaf.

Proponuję, byś dodał trochę komentarza do tego postu, pokazał jakieś uogólnienia, zastosowania i wysłał do Kompendium!

wielu inteligentnych ludzi uważa że matematyka jest bezsensu.

Tutaj jest pewna sprzeczność.

[Jarmil]

Kaf, to że coś wynik z definicji nie znaczy że nie można pokazać w jaki sposób wynika. Nie wszystkie teorie są tak banalne że przypadki w ramach tych teorii, nie wymagają uzasadnienia. Jest jakaś idea, która nie wiąże się z sztucznymi założeniami typu \(\displaystyle{ 0!=1}\), idea opisuje działanie, a same konsekwencje tego to właśnie np \(\displaystyle{ 0!=1}\) co nie musi być oczywiste, co więcej pewnych konsekwencji różnych teorii sobie od razu nie uświadamiamy, ciągle ktoś odnajduje nowe zastosowania dla "starych" teorii. Z takimi ustaleniami mamy np do czynienia w przypadku definiowania pojęć rekurencyjnych, musi być jakiś początek.

-- 21 sie 2014, o 18:38 --

Pokrętne wyjaśnienie a zobacz na moje

\(\displaystyle{ (n-2)!!=\frac{n!!}{n}}\)

\(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2!!}{2}=\frac{2}{2}=1}\)

-- 21 sie 2014, o 18:40 --

Jaka sprzeczność? Nie znasz inteligentnych ludzi którzy nienawidzą matematyki ? Którzy osiągają wybitne sukcesy na innych polach.

[Kaf]

O tym mówię przecież cały czas!! Te sztuczne założenie jest po to, aby pasowało do reszty, tej naturalnej i to jest powód dlaczego tak sztucznie definiujemy przypadki skrajne.

---
Ludzie inteligentni mogą nienawidzić matematyki, ale nie uważać, że jest bez sensu.