Dzielenie wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Wzór masz dany na samym początku. Wprowadzasz kilka przekształceń, aż zauważymy zależność. Wszystko masz wypunktowane, wystarczy liczyc. Prosiłeś o przykłady masz, chciałeś wiedzieć jak napisalem. Udowodnilem swój wywod, jeśli nie pokaż jakiś kontrprzyklad.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Dzielenie wielomianów
Mylisz rozmowcow.. Prosiłeś o przykłady masz, chciałeś wiedzieć jak napisalem. Udowodnilem swój wywod, jeśli nie pokaż jakiś kontrprzyklad.
Twierdziles, ze wielomianow dowch zmiennych nigdy w matematyce nie bylo - stwierdzilem, ze byly.
Pokazales wzor - stwierdzilem, ze jest zwyklym dzieleniem wielomianow.
Nie wypowiadam sie na temat wczesniejszych watkow ,bo jest tego za duzo.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Hmm może i zwykłym, ale odkrywczym bo nikt tego wzoru wcześniej nie wyprowadził.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dzielenie wielomianów
Ja mam taką propozycję: spróbuj spisać swój wynik w formie którą zwykle się stosuje: założenie->teza->dowód. Ponumeruj wzory, do których się odnosisz.
jeżeli chcesz zaprezentować algorytm, pooznaczaj jego kolejne kroki, punkty decyzyjne itp.
Postaraj się zminimalizować użycie zaimków, pisz pełne zdania a języku polskim.
Takie podejście ułatwi analizę Twojego wyniku i spowoduje, że dyskusja stanie się konkretna
jeżeli chcesz zaprezentować algorytm, pooznaczaj jego kolejne kroki, punkty decyzyjne itp.
Postaraj się zminimalizować użycie zaimków, pisz pełne zdania a języku polskim.
Takie podejście ułatwi analizę Twojego wyniku i spowoduje, że dyskusja stanie się konkretna
No tu to już przesadziłeśHmm może i zwykłym, ale odkrywczym bo nikt tego wzoru wcześniej nie wyprowadził.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Dzielenie wielomianów
Z jednej strony fajnie, ze Cie matematyka jara, z drugiej strony nienawidze takiej buty - takie zabawy z wielomianami to VI wiek neHmm może i zwykłym, ale odkrywczym bo nikt tego wzoru wcześniej nie wyprowadził.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dzielenie wielomianów
Rozumiemy, że rozpiera Cię duma z odkrycia, ale jest to rzecz znana od wieków. Co więcej, ludzie wiedzą - w odróżnieniu od Ciebie - jak zapisać go poprawnie.Dreamer357 pisze:Być moze, ale wzór jest jak najbardziej wspolczesny
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Wzór Newtona to chyba też współczesność.-- 10 kwi 2017, o 19:05 --leg14 pisze:Z jednej strony fajnie, ze Cie matematyka jara, z drugiej strony nienawidze takiej buty - takie zabawy z wielomianami to VI wiek neHmm może i zwykłym, ale odkrywczym bo nikt tego wzoru wcześniej nie wyprowadził.
Od wieków a kiedy żył Newtona4karo pisze:Dreamer357 pisze:Być moze, ale wzór jest jak najbardziej wspolczesny
Rozumiemy, że rozpiera Cię duma z odkrycia, ale jest to rzecz znana od wieków. Co więcej, ludzie wiedzą - w odróżnieniu od Ciebie - jak zapisać go poprawnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dzielenie wielomianów
Tak, wczoraj rozmawiałem z Newtonem i potwierdził toDreamer357 pisze:Wzór Newtona to chyba też współczesność.leg14 pisze:Z jednej strony fajnie, ze Cie matematyka jara, z drugiej strony nienawidze takiej buty - takie zabawy z wielomianami to VI wiek neHmm może i zwykłym, ale odkrywczym bo nikt tego wzoru wcześniej nie wyprowadził.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Postaram się na dniach.a4karo pisze:Ja mam taką propozycję: spróbuj spisać swój wynik w formie którą zwykle się stosuje: założenie->teza->dowód. Ponumeruj wzory, do których się odnosisz.
jeżeli chcesz zaprezentować algorytm, pooznaczaj jego kolejne kroki, punkty decyzyjne itp.
Postaraj się zminimalizować użycie zaimków, pisz pełne zdania a języku polskim.
Takie podejście ułatwi analizę Twojego wyniku i spowoduje, że dyskusja stanie się konkretna
Zastanawia mnie, czy rozmówcy też mają takie deja vu, czy tylko ja.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Założenie:
Wykorzystać trójkąt Pitagorasa i wzór Newtona do dzielenia wielomianów.
Teza:
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{ax ^{n} }{x+y} =(-1) ^{k}ax ^{n-1}y ^{k}}\)
przy czym \(\displaystyle{ nty}\) wyraz dzielimy przez \(\displaystyle{ x+y.}\)
Z własności \(\displaystyle{ \frac{a+ b}{x+n} = \frac{a}{x+ n} + \frac{b}{x+ n}}\) mamy wzór dla dowolnego wielomianu.
Po prostu dodajemy do siebie wyliczone poszczególne potęgi. I bierzemy kolejny pierwiastek.
Przykłady:
\(\displaystyle{ a}\) nie będę mnożył, bo to obojętne czy może, każdy element sumy, przez\(\displaystyle{ a}\) , czy wynik przez \(\displaystyle{ a}\).
Tylko, że przy dzieleniu wielomianów widać, że ten zabieg jest potrzebny.
\(\displaystyle{ N=2}\).
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{x+y} = x-y+\frac{y ^{2} }{x+y}}\).
Dla \(\displaystyle{ x=2 y =2}\)wynosi\(\displaystyle{ 1}\). Zgadza się.
Dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -xy+y ^{2} - \frac{y ^{3} }{x+y}}\)
dla\(\displaystyle{ x=2 y=2}\)wynosi \(\displaystyle{ 2}\) . Zgadza się
Dla \(\displaystyle{ n=4}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} -x ^{2}y+xy ^{2} -y ^{3} + \frac{y ^{4} }{x+y}}\)
dla \(\displaystyle{ x=2 y=2}\)wynosi\(\displaystyle{ 4.}\)Zgadza się.
Dla \(\displaystyle{ n=5}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}-x ^{3}y+x ^{2}y ^{2}-xy ^{3} +y ^{4}- \frac{y ^{5} }{x+y}}\)
dla \(\displaystyle{ x=2 y=2}\) wynosi\(\displaystyle{ 8.}\) Zgadza się.
dowód
1. Wyprowadzenie wzoru dla cyfr.
2. Wyprowadzenie wzoru dla zmiennych.
2. Wyprowadzenie wzoru dla zmiennych.
1.
1.\(\displaystyle{ \frac{a_1x^{n} +a_2x^{n-1}+ ....+ax^{0}}{k(x+p)l(x+o)} =}\)
( pierwiastków również może być n ja podaje jedynie na 2 dla przykładu)
2. ustalam współczynnik dla \(\displaystyle{ (x+p)^n}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest najwyższą potęgą dzielnika \(\displaystyle{ a}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{a_1}{k}}\)
3. od \(\displaystyle{ a_1x^{n} +a_2x^{n-1}+ ....+a_mx^{0}}\) odejmuje\(\displaystyle{ \frac{a_1}{k}(x+p)^n}\),
które wyliczamy ze wzoru \(\displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.}\)
4. otrzymujemy nowe\(\displaystyle{ \frac{a_1}{k}(x+p)^n + b_1x^{n-1} +b_2x^{n-2}+ ....+b_{m-1}x^{0}}\)
5. ustalam współczynnik dla \(\displaystyle{ (x+p)^{n-1}}\) gdzie \(\displaystyle{ n-1}\)jest najwyższą potęgą dzielnika \(\displaystyle{ b}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{b_1}{k}}\)
6. od \(\displaystyle{ b_1x^{n-1} +b_2x^{n-2}+ ....+bx^{0}}\)odejmuje\(\displaystyle{ \frac{b_1}{k}(x+p)^{n-1}}\)
7. powtarzam procedurę aż do\(\displaystyle{ n=0}\)
8. otrzymuję \(\displaystyle{ \frac{a_1}{k}(x+p)^n + \frac{b_1}{k}(x+p)^{n-1} +...+ \frac{z_1}{k}(x+p)^1 + liczba}\)(pozostała reszta której nie bierzemy pod uwagę rozpatrując kolejny pierwiastek)
9. dziele przez pierwiastek czyli zmniejszam\(\displaystyle{ n o 1}\)
10. zamieniam na formę pierwotną podzielony wielomian
11. dla części pierwiastka bez liczby wykonuje powtórnie procedurę \(\displaystyle{ 1-8}\)
12. dziele cały wielomian przez kolejny pierwiastek
13. powtarzam procedurę, aż do końca pierwiastków.
14. koniec
Opis słowny tego algorytmu.
Wychodząc od klasycznej formy wielomianu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a(k)x^n}\)
Krok pierwszy za pomocą w N i t P (czytaj wzoru Newtona i trójkąta Pitagorasa)
wyłączamy \(\displaystyle{ (a1x+y)^n}\)
gdzie y jest naszym pierwiastkiem wielomianu.
Krok drugi od naszego wielomianu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a(k)x^n}\) odejmujemy \(\displaystyle{ (a1x+y)^n}\)
Otrzymamy\(\displaystyle{ \sum_{}^{} b(k)x^{n-1}}\)
Krok trzeci za pomocą w N i t P
wyłączamy \(\displaystyle{ (b1x+y)^n}\)
Powtarzamy te kroki aż do uzyskania \(\displaystyle{ \sum_{}^{} az(k)(x+y) ^{n}+liczba}\)
Poprzez zmniejszenie \(\displaystyle{ n o 1}\),
dokonujemy dzielenia wielomianu początkowego przez pierwiastek dzielnika
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} b(k)^{n-1}}\) Tą część przekształcamy dla kolejnego pierwiastka
\(\displaystyle{ + \frac{liczba}{x+y}}\) Tą część pozostawiamy jako \(\displaystyle{ Rn}\)
Powtarzamy całość dla dowolnej liczby pierwiastków.
To była pierwotna forma algorytmu. Wtedy nie próbowałem jeszcze wyprowadzać go dla zmiennych.
Tylko żeby zauważyć dalszą część trzeba rozumieć tą wcześniejszą, aby wyprowadzić wzór. Po wyprowadzeniu wzoru, ta część staję się zbędna.
Teraz dalsza część właściwa.
2. Wyprowadzenie wzoru dla zmiennych
Dla dowolnego
\(\displaystyle{ \frac{x ^{n} }{x+y} }}\)
zachodzi \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^{n}-Rn}{x+y}}\)
przy czym \(\displaystyle{ -Rn =(x+y) ^{n} -x ^{n}}\)
dzielimy to przez \(\displaystyle{ x+y}\) i mamy
\(\displaystyle{ (x+y)^{n-1}- \frac{Rn}{x+y}}\)
Wyprowadzimy to dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n}\), aż zauważymy nasza nierówność.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ x^2=(x+n)^2-2xn-n^2=(x+n)^2-[2x+n]n=(x+n)^2-[2(x+n)+n]n}\) to dzielimy przez x+n i mamy nasze
\(\displaystyle{ x-n+ \frac{n^2}{x+n}}\).
Kolejno licząc tą metodą otrzymujemy
Dla \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -xy+y ^{2} - \frac{y ^{3} }{x+y}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=4}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} -x ^{2}y+xy ^{2} -y ^{3} + \frac{y ^{4} }{x+y}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=5}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}-x ^{3}y+x ^{2}y ^{2}-xy ^{3} +y ^{4}- \frac{y ^{5} }{x+y}}\)
W tym momencie musimy zauważyć wzór.
\(\displaystyle{ x ^{n-1}y ^{0}(-1) ^{0} +x ^{n-2}y ^{1}(-1) ^{1} +x ^{n-3}y ^{2}(-1) ^{2} +...+x ^{0}y ^{n-1}(-1) ^{n-1} + \frac{x ^{0}y ^{n}(-1) ^{n}}{x+y}}\)
I mamy nasz wzór \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^{n-1} y ^{k} (-1) ^{k}}\) przy czym nty wyraz dzielimy przez \(\displaystyle{ x+y}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Dzielenie wielomianów
Dreamer357, Twój zapis zawiera koszmarną liczbę błędów, włączając w to te merytoryczne.
To, co napisałeś, sprowadza się z grubsza:
\(\displaystyle{ (x-y)^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}}\)
i zastosowania tego tak:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{x-y}=\frac{x^n-y^n}{x-y}+\frac{y^n}{x-y}}\).
Po przepisanniu na ogólny wielomian, to jest
\(\displaystyle{ p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{p(x)}{x-y}=\frac{p(y)}{x-y}+\sum\limits_{k=0}^na_k\sum\limits_{j=0}^{k-1}y^{k-1-j}x^j}\)
I jak się temu dokładnie przyjrzeć, jest to nic innego jak schemat Hornera.
To, co napisałeś, sprowadza się z grubsza:
\(\displaystyle{ (x-y)^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}}\)
i zastosowania tego tak:
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{x-y}=\frac{x^n-y^n}{x-y}+\frac{y^n}{x-y}}\).
Po przepisanniu na ogólny wielomian, to jest
\(\displaystyle{ p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{p(x)}{x-y}=\frac{p(y)}{x-y}+\sum\limits_{k=0}^na_k\sum\limits_{j=0}^{k-1}y^{k-1-j}x^j}\)
I jak się temu dokładnie przyjrzeć, jest to nic innego jak schemat Hornera.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Nie. Na przykładzie:
\(\displaystyle{ \frac{3x ^{3}+5x ^{2}+6x+3 }{(x+2)}}\)
Liczymy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{3}}{x+2} \\
\frac{5x^{2}}{x+2} \\
\frac{6x}{x+2} \\
\frac{3}{x+2}}\)
Ze wzoru otrzymujemy kolejno
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-3x \cdot 2+3 \cdot 4-\frac{3 \cdot 8}{x+2} =3x ^{2}-6x+12- \frac{24}{x+2} \\
5x-5 \cdot 2+ \frac{5 \cdot 4}{x+2} \\
6- \frac{6 \cdot 2}{x+2} \\
\frac{3}{x+2}}\)
Sumujemy to i mamy wynik naszego wielomianu. Czyli:
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-x+8+ \frac{-13}{x+2}}\)
Schemat Hornera
\(\displaystyle{ 3 \\
3 \cdot (-2)+5= -1 \\
-1 \cdot (-2)+6=8 \\
8 \cdot (-2)+3=-13}\)
Czyli działa, ale liczymy inaczej
\(\displaystyle{ \frac{3x ^{3}+5x ^{2}+6x+3 }{(x+2)}}\)
Liczymy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{3x^{3}}{x+2} \\
\frac{5x^{2}}{x+2} \\
\frac{6x}{x+2} \\
\frac{3}{x+2}}\)
Ze wzoru otrzymujemy kolejno
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-3x \cdot 2+3 \cdot 4-\frac{3 \cdot 8}{x+2} =3x ^{2}-6x+12- \frac{24}{x+2} \\
5x-5 \cdot 2+ \frac{5 \cdot 4}{x+2} \\
6- \frac{6 \cdot 2}{x+2} \\
\frac{3}{x+2}}\)
Sumujemy to i mamy wynik naszego wielomianu. Czyli:
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-x+8+ \frac{-13}{x+2}}\)
Schemat Hornera
\(\displaystyle{ 3 \\
3 \cdot (-2)+5= -1 \\
-1 \cdot (-2)+6=8 \\
8 \cdot (-2)+3=-13}\)
Czyli działa, ale liczymy inaczej
Ostatnio zmieniony 22 maja 2017, o 15:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Dzielenie wielomianów
Przeczysz samemu sobie.
Może i liczysz inaczej, ale jest to kwestia zapisu. I kolejności sumowania.
Wyrażenie
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^na_k\sum\limits_{j=0}^{k-1}y^{k-1-j}x^j}\)
można oczwyiście uporządkować według potęg \(\displaystyle{ x}\) - wtedy wzory na współczynniki przy kolejnych potęgach pokrywają się z tymi ze schematu Hornera.
Może i liczysz inaczej, ale jest to kwestia zapisu. I kolejności sumowania.
Wyrażenie
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^na_k\sum\limits_{j=0}^{k-1}y^{k-1-j}x^j}\)
można oczwyiście uporządkować według potęg \(\displaystyle{ x}\) - wtedy wzory na współczynniki przy kolejnych potęgach pokrywają się z tymi ze schematu Hornera.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Dzielenie wielomianów
Już ci mówię o co mi chodzi. Można rozwiązać sto zadań na jeden sposób, lub jedno zadnie na sto sposobów. Zgadzasz się ze mną, że kolejny wzór, który liczy to samo to też odkrycie. Z założenia ten temat miał służyć do wymyślania sposobów na ciągle jedno zagadnienie, więc nawet jeśli wynik pozostaję taki sam, to sposób liczenia już jest odkrywczy. Popatrz ten sposób idealnie nadaje się do zadań z parametrem, gdy jeden ze współczynników wielomianu jest nieznany. Schemat Hornera w tym przypadku odpada.