Co wybrać na 10-minutową prezentację?

[Spektralny]

W najbliższym czasie stoję przed wyzwaniem opracowania 10-minutowego próbnego wykładu z treści, które zwykle pojawiają się najcześciej w programie drugiego roku studiów matematycznych. Mam przy tym pełną dowolność co do wyboru tematu. Mimo, że mam swoje dwa typy, jestem ciekaw Waszych sugestii. Myślę, że chciałbym podać jakiś dowód (6 minut wraz z wypowiedzią i króciutkim wprowadzeniem) + jakieś nietrywialne zastosowania dowodzonego twierdzenia (3 minuty). Zapraszam do dyskusji.

[chris_f]

Jest takie ładne twierdzenie mówiące o równoważności sześciu (o ile dobrze pamiętam) warunków na to, by funkcja pomiędzy dwiema przestrzeniami topologicznymi była ciągła. Dowód polega na wykazaniu prawdziwości takiego kółeczka złożonego z implikacji. Tyle, że to na sześć minut jest za długie.
Albo iść na łatwiznę i twierdzenie Kroneckera-Capellego z wszystkimi wnioskami (o ilości rozwiązań i ich parametryzacji).
Albo coś z rachunku prawdopodobieństwa, np. schemat Bernoulli'ego, wartość oczekiwana, największa liczba sukcesów itd.
Propozycji może być wiele, ale musiałbyś poinformować, jaki jest poziom drugiego roku studiów matematycznych w Kanadzie, bo tu różnice mogą być bardzo duże.

[edit] Nawet w Polsce są duże rozbieżności między uczelniami, czego uczy się na pierwszym czy drugim roku.

[leszczu450]

Spektralny, ja jestem na drugim roku więc mogę Ci pomóc. Praktycznei cały drugi rok podchodzi pod analize i funkcje wielu zmiennych. Może więc powiesz ogólnie o różniczkowaniu i całkowaniu w czymś wielowymiarowym, tak ogólnie. A jako twierdzenia to może bez dowodu twierdzenie o lokalnym odwracaniu i uwikłanej?

[Spektralny]

Dziękuję za sugestie. Myślę, że będzie bardzo ważne bym zaprezentował jakiś dowód bo to pokazuje jakie są moje zdolności w tłumaczeniu tego co jest de facto sednem sprawy. Komisja raczej nie oceni wysoko wykładu bez (fragmentu/szkicu) dowodu, choć możliwe, że się mylę.

PS. Prezentacja nie odbędzie się w Polsce.

[leszczu450]

Spektralny, hmm mam pomysł! Może zasadę Banacha! Jest mega ważna, polski aspekt, a dowód jest prościutki i idzie na jednej tablicy zrobić. To może być fajne : ) I powiedzieć o różnych kulach w różnych metrykach. Że to tak odbiega od intuicyjnego postrzegania kuli : )

[adri@n]

Pamiętam, że u nas jedną z takich ciekawszych rzeczy na topologii był dowód tego, że w szczególnych przypadkach kula o większym promieniu może zawierać się w tej o mniejszym. Trzeba by tylko poszperać o co dokładnie chodziło, bo ja akurat z topologii do najmocniejszych nie należę a i notatek przy sobie nie mam :/

[Spektralny]

Dziękuję za sugestie, ale chciałbym aby trzymały się one ram 6+3 bądź 5+4.

PS. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie punktem w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ X}\) oraz niech \(\displaystyle{ 0<p<r}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \{y\in X\colon d(x,y)<p\}\subseteq \{y\in X\colon d(x,y)<r\}.}\)

[adri@n]

Właśnie chodzi o to, że powyższa inkluzja jest prawdziwa też dla \(\displaystyle{ 0<r<p}\).

[Spektralny]

Może być prawdziwa. Weź metrykę dyskretną \(\displaystyle{ d}\) na dowolnym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Wówczas kula o środku w punkcie przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) i promieniu \(\displaystyle{ 500}\) zawiera się w kuli o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) i środku w tym punkcie. Nie ma tu żadnej magii.

[adri@n]

Ale z pozycji laika, który nie miał styczności z topologią nie jest taka oczywista
Jednak faktycznie, nie jest to najlepszy przykład na prezentację.

[ares41]

Może lemat Spernera dla sympleksów ? Da się zrobić szybko.

[MadJack]

Żeby przedstawić coś ciekawszego z teorii liczb trzeba raczej opierać się na jakichś łatwych podstawowych informacjach, więc chyba odpada. Może coś o grafach? Myślę dałoby się przedstawić w takim czasie jakąś ciekawą rzecz