Suma liczb naturalnych równa się -1/12

[VillagerMTV]

Znalazłem ostatnio film, w którym jest zawarty dowód na to co jest w temacie.
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZ ... 4-overview .

Trochę nie rozumiem idei tego dowodu. Wytłumaczy ktoś?

[szw1710]

Zabawy z szeregiem rozbieżnym. Oczywiście jego suma w ogóle nie istnieje. Ani skończona, ani nieskończona.

Podam inny przykład, poniekąd mający związek z zapisem bitowym (przepełnienie).

Suma szeregu geometrycznego: \(\displaystyle{ 1+q+q^2+\dots=\frac{a}{1-q}}\). A zatem \(\displaystyle{ 1+2+2^2+\dots=\frac{1}{1-2}=-1}\).

Gdzie jest błąd?

[leszczu450]

szw1710,

Ukryta treść:    

w tym, że wzorek ten działa dla \(\displaystyle{ |q|<1}\)

[yorgin]

Znalazłem ostatnio film, w którym jest zawarty dowód na to co jest w temacie.
... 4-overview .

W ciemno strzelałem, że jest to film na kanale numberphile, i miałem rację

Trochę nie rozumiem idei tego dowodu. Wytłumaczy ktoś?

Wystarczy znać definicję szeregu zbieżnego/rozbieżnego.

[szw1710]

Tak, o to chodzi. A z tym przepełnieniem to jest tak: jeśli zapiszemy nieskończony ciąg samych jedynek, to w zapisie dwójkowym będzie ta suma. Dodając jedynkę dostaniemy same zera. Więc ta suma to \(\displaystyle{ -1}\) . Same jedynki w zapisie dwójkowym to \(\displaystyle{ -1}\). No i jeszcze jedna konkluzja: \(\displaystyle{ +\infty=-1}\).

[leszczu450]

yorgin, a po co Ci naukowcy w ogóle robią takie filmiki? To są jaja? Dla zabawy? Dla zmuszenia do refleksji nad pewnymi założeniami? Osobiście uważam, że takie żarty są dość niebezpieczne. W szczególności dla początkujących studentów.

[szw1710]

Dla początkujących tak. Moi studenci zupełnie nie wyczuwają, że jak pokażę \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{n}=6}\) (dlaczego?), to coś się niedobrego dzieje.

Ale przykład ma dużą wartość. Pokazuje, że wyrazy tego szeregu można tak poprzestawiać, aby sumy częściowe były takie jak chcemy. Trzeba takie przykłady robić, aby pokazać manowce intuicji czy też jej braku.

Nie uważam wyrażonego poglądu o niebezpieczeństwie tych żartów za uprawniony. Nożem można kroić chleb. Można też kogoś zranić.

[yorgin]

leszczu450, część z tych filmów to ciekawostki, część to pewne eksperymenty, ciekawe wydarzenia matematyczne na świecie, łamigłówki, sztuczki matematyczne, ale także filmy, które mają zmusić do przemyśleń. Wszak jak łatwo można się dać nabrać w matematyce na pewne rzeczy jeżeli się w nie po prostu uwierzy? Powyższy film jest dobrym przykładem na to.

Nie uważam wyrażonego poglądu o niebezpieczeństwie tych żartów za uprawniony. Nożem można kroić chleb. Można też kogoś zranić.

Oj, ileż to razy krew leciała...

[leszczu450]

szw1710, skracamy \(\displaystyle{ n}\) : P

[szw1710]

yorgin, nie z leszczem450, którego bardzo lubię i wiele z nim rozmawiam. On potrafi dyskutować i uszanować kulturę rozmowy. Dlatego sobie pozwoliłem na tego rodzaju uwagę. Wziąłem jeszcze pod uwagę dział, w którym rozmawiamy.

PS. Chyba nie wyczułem do końca o co chodzi. Owszem - leciała. Uwagę o leszczu450 zostawiam.

[leszczu450]

yorgin, obejrze sobie dzisiaj kilka ich filmików. Zapowiada się ciekawie. Póki co walcze z twierdzeniem o lokalnym odwracaniu odwzorowań(dlaczego nie ma o tym nic na googlach ani na wiki?!).-- 10 sty 2014, o 18:33 --szw1710, hahah ! tak się właśnie zastanawiam co Pan wypisuje ?!

[yorgin]

szw1710, ja też brałem dział pod uwagę

leszczu450, tylko się nie wciągnij (lokalne odwracanie kojarzy mi się z twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie)

[bartek118]

yorgin, obejrze sobie dzisiaj kilka ich filmików. Zapowiada się ciekawie. Póki co walcze z twierdzeniem o lokalnym odwracaniu odwzorowań(dlaczego nie ma o tym nic na googlach ani na wiki?!).

Tak myślę, że jak będę miał troszkę czasu to wpiszę na wiki.

[leszczu450]

yorgin, bo to to samo. Czy może teraz to ja czegoś nie zrozumiałem? : P

[yorgin]

szw1710, hahah ! tak się właśnie zastanawiam co Pan wypisuje ?!

Wydało się

Tak myślę, że jak będę miał troszkę czasu to wpiszę na wiki.

Miłej zabawy