Suma liczb naturalnych równa się -1/12

[leszczu450]

yorgin, a może Ty wspomożesz Bartka i razem coś napiszecie tam mądrego?

[VillagerMTV]

To skoro nie istnieje to czemu to się znalazło w książce o Teorii Strun i czemu używa się tego w fizyce?:)

[leszczu450]

VillagerMTV, pewnie się znalazło jako przykład tego, co się dzieje, gdy ślepo patrzymy na jakąs formułę : ) Szereg jest rozbieżny koniec i kropka.

[szw1710]

To skoro nie istnieje to czemu to się znalazło w książce o Teorii Strun i czemu używa się tego w fizyce?:)

Zobacz mój komentarz o przepełnieniu bitowym: 354439.htm#p5187370

[leszczu450]

jeśli zapiszemy nieskończony ciąg samych jedynek, to w zapisie dwójkowym będzie ta suma.

Nie rozumiem tego kawałka . Może Pan to wyjaśnić?

[szw1710]

W zapisie dwójkowym mamy \(\displaystyle{ 1=\dots 0\dots 01}\), dalej \(\displaystyle{ 2=\dots 0\dots 010}\). Dalej \(\displaystyle{ 2^2=\dots 0\dots0100}\) itd. Dodajesz \(\displaystyle{ 1+2+2^2+2^3+\dots}\) i co otrzymujesz?

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
1&=\dots 00000001\\
2&=\dots 00000010\\
2^2&=\dots 00000100\\
2^3&=\dots 00001000\\
&\vdots\\
-1&=1111\dots 11111111
\end{aligned}}\)

[leszczu450]

szw1710, ciąg samych jedynek \(\displaystyle{ 11111\ldots1111}\)-- 10 sty 2014, o 21:27 --szw1710, aaa ! O to Panu chodziło : ) Wszystko jasne ! Po prostu nie wiedziałem, że nadal Pan tam używa ten nieprawdziwy wzór : )

[szw1710]

Który to wzór jednak ma coś w sobie. Dodają jedynkę do ciągu samych jedynek otrzymamy same zera, bo tej jedynki na początku nie ma jak zapisać - ciąg jest nieskończony. Dodawanie rozpoczynamy od cyfry jedności, mamy zero i jedynka dalej. Sprawa się powtarza na pozycji "dziesiątek" itd. Ale to kontynuujemy ad infinitum. Więc jedynka "na początku" nie pojawi się, bo tego początku zwyczajnie nie ma. Więc dostajemy ciąg samych zer. Stąd \(\displaystyle{ \dots 1111\dots 11111111+1=0}\), więc \(\displaystyle{ \dots 1111\dots 11111111=-1}\).

Jest tu coś z ezoteryki

[matmatmm]

A mógłby ktoś wyjaśnić dlaczego na wikipedii na wykresie funkcji dzeta Riemanna (o dziedzinie rzeczywistej) jest ona określona dla liczb mniejszych od \(\displaystyle{ 1}\)? Wartość dla \(\displaystyle{ -1}\) oscyluje niebiezpiecznie blisko \(\displaystyle{ -\frac{1}{12}}\).

[VillagerMTV]

@szw1710
Teraz też rozumiem. A w fizyce podobnie czy coś innego, ale też się da zastosować?

[szw1710]

Na to pytanie nie umiem odpowiedzieć

[VillagerMTV]

A zgłosi się ktoś związany z fizyką?

[luka52]

W fizyce często pojawiają się takie sumy i całki, które z matematycznego punktu widzenia są rozbieżne.
Jednak fizyk potrzebuje coś z tymi nieskończonościami zrobić, aby wyszedł skończony wynik. Jest to o tyle uzasadnione, że nasze obliczenia powinny się zgadzać z tym co obserwujemy.
Zatem stosuje się różnego rodzaju regularyzacje by nadać sens wielkościom nieskończonym.
Tu mamy przypadek regularyzacji funkcją dzeta Riemanna.
Sam wzór: \(\displaystyle{ \zeta (z) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^z} \; (1)}\) jest prawdziwy tylko dla \(\displaystyle{ \Re z > 1}\). Jednak funkcję dzeta da się rozszerzyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną z wyjątkiem punktu \(\displaystyle{ z = 1}\). I regularyzacja polega na tym, by szeregowi \(\displaystyle{ 1 + 2 + \ldots}\) przypisać wartość \(\displaystyle{ \zeta (-1)}\) rozszerzenia analitycznego funkcji (1). Decydując się na wybór konkretnej metody regularyzacji należy następnie konsekwentnie się jej trzymać.