Śladami Boole’a
Temat wykładu:
Wyprowadzenie symbolicznych definicji niektórych operatorów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Spis treści:
1.0 Operatory OR i AND
2.0 Operatory implikacji i równoważności
3.0 Dyskusja
Notacja:
\(\displaystyle{ +}\) - spójnik logiczny „lub”(
\(\displaystyle{ +}\))
\(\displaystyle{ *}\) - spójnik logiczny „i”(
\(\displaystyle{ *}\))
Zdania „Jeśli
\(\displaystyle{ p}\) to
\(\displaystyle{ q}\)”
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) - naturalny spójnik „może” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\), wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) - równoważność
Zacznijmy od wspólnego punktu zaczepienia jaki widzę w poście Yorgina.
yorgin pisze:rafal3006 pisze:Wiem jak wygląda mój algorytm w świecie techniki.
Na 100% jest inny niż algorytm w świecie matematyki.
Różnica polega zapewne na tym, iż używamy innych symboli na operatory logiczne.
Skrótowo. Najprostsza aczkolwiek niedająca najbardziej zwartej postaci, to analiza tabelowa. Dla zdania
\(\displaystyle{ Z = (\neg p \vee q)\wedge (p\vee \neg q)}\)
robię tabelkę
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c}
p & q & Z\\
0 & 0 & 1 \\
0& 1 & 0\\
1& 0 & 0\\
1& 1 & 1
\end{array}}\)
i odczytuję układy, dla których mam zdanie prawdziwe. Stąd tworzę sobie zdanie w DPN
\(\displaystyle{ (\neg p\wedge \neg q)\vee (p\wedge q)}\)
w sposób łatwy do odgadnięcia.
Twoje równanie to poprawne równanie algebry Boole’a, opisujące wyłącznie linię 1 i 4, ale brakuje w nim istotnego elementu, zapisu tego równania w postaci funkcji logicznej.
W technice:
Bramka logiczna = operator logiczny
Bramka logiczna to układ o n-wejściach i zawsze jednym wyjściu zwyczajowo nazywanym
\(\displaystyle{ Y}\).
Na mocy budowy bramki logicznej (operatora logicznego) w technice preferowany jest zapis funkcji logicznej w takiej postaci:
\(\displaystyle{ Y=p+q}\)
bo widać w nim najprościej co jest wejściem (
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)) a co jest wyjściem (
\(\displaystyle{ Y}\)).
Zauważmy, że bez symbolu
\(\displaystyle{ Y}\) też możemy opisać bramkę w postaci funkcji logicznej tak:
\(\displaystyle{ (p+q) = p+q}\)
Taki opis, choć poprawny i tożsamy do powyższego jest mniej czytelny, bo sygnał wyjściowy
\(\displaystyle{ Y}\) jest fundamentalnie czym innym niż sygnały wejściowe
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\). Sygnał
\(\displaystyle{ Y}\) zależy od sygnałów wejściowych
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\), odwrotnie nie zachodzi.
Najgorszy możliwy opis to zapis wyłącznie sygnałów wejściowych:
\(\displaystyle{ p+q}\)
Ten opis jest do błędny od strony czysto matematycznej bo nie mamy w nim żadnych szans na opisanie wszystkich linii dowolnej tabeli zero-jedynkowej przy pomocy równań logicznych. Skazani jesteśmy na logikę w zerach i jedynkach, bez szans na przejście do logiki w 100% symbolicznej tzn. uniezależnionej od zer i jedynek, co za chwilę udowodnimy.
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
\(\displaystyle{ p}\),
\(\displaystyle{ q}\),
\(\displaystyle{ Y}\)
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (
\(\displaystyle{ Y}\) - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(
\(\displaystyle{ *}\)) albo „lub”(
\(\displaystyle{ +}\)) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
\(\displaystyle{ Y}\) - funkcja logiczna
Przykład:
\(\displaystyle{ Y=p*q+p* \neg q+ \neg p*q}\)
Zadanie:
Opisz równaniami algebry Boole’a wszystkie linie operatora OR
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l}
p & q & Y=p+q\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}}\)
Robimy dokładnie to co robi Yorgin wyżej, czyli sprowadzamy wszystkie zmienne do 1
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|r|l|l|l}
& p & q & Y=p+q\\
A: & 1 & 1 & 1 & Y=p*q & 1*1=1\\
B: & 1 & 0 & 1 & Y=p* \neg q & 1*1=1\\
C: & 0 & 1 & 1 & Y= \neg p*q & 1*1=1\\
D: & 0 & 0 & 0 & \neg Y= \neg p* \neg q & 1*1=1\\
& 1 & 2 & 3 & & 4-5-6
\end{array}}\)
Od razu widać dlaczego opis funkcji logicznej wyłącznie przy pomocy zmiennych wejściowych p i q jest do bani.
Oczywistym jest że:
\(\displaystyle{ 0}\) #
\(\displaystyle{ 1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ Y}\) #
\(\displaystyle{ \neg Y}\)
Ponieważ wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek to w zerach i jedynkach nie mamy żadnej logiki, czego dowodem jest ostatnia tabela z samymi jedynkami (ABCD456). Cała logika została przerzucona na równania algebry Boole’a!
Zauważmy że jak zanegujemy dwustronnie ostatnią linię D123 to dostaniemy matematyczny opis obszaru ABC123.
D123.
\(\displaystyle{ \neg Y= \neg p* \neg q}\) - logika ujemna (bo
\(\displaystyle{ \neg Y}\))
Negujemy dwustronnie:
\(\displaystyle{ \neg ( \neg Y) = \neg ( \neg p* \neg q)}\)
stąd na mocy prawa podwójnego przeczenia i praw De Morgana mamy opisany obszar:
ABC123:
\(\displaystyle{ Y=p+q}\) - logika dodatnia (bo
\(\displaystyle{ Y}\))
Możemy teraz sformułować ogólne prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Spójniki komplementarnie przeciwne w logice to:
\(\displaystyle{ +}\) vs
\(\displaystyle{ *}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) vs
\(\displaystyle{ \rightarrow}\)
Przykłady:
1.
\(\displaystyle{ Y=p+q}\)
\(\displaystyle{ \neg Y= \neg p* \neg q}\)
2.
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ \neg p \rightarrow \neg q}\)
3.
\(\displaystyle{ (p+q) \Rightarrow (r*s)}\)
\(\displaystyle{ ( \neg p* \neg q) \rightarrow ( \neg r+ \neg s)}\)
Oczywiście obszar tabeli ABC123 opisany jest także równaniem Yorgina:
ABC123:
\(\displaystyle{ Y=p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
Równanie Yorgina możemy też wyprowadzić dodając logicznie stronami wszystkie wiersze z jedynkami w wyniku:
Obszar ABC:
\(\displaystyle{ A+B+C}\)
\(\displaystyle{ Y+Y+Y = p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
Prawo algebry Boole’a:
\(\displaystyle{ Y+Y=Y}\)
stąd:
\(\displaystyle{ Y=p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
Matematycznie zachodzi:
ABC123 = ABC123
\(\displaystyle{ Y=Y}\)
zatem:
\(\displaystyle{ Y=p+q = p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
Wniosek:
Symbol „
\(\displaystyle{ +}\)” opisuje wyłącznie obszar ABC123 a nie wszystkie cztery linie.
Wszystkie cztery linie w powyższej tabeli opisuje układ równań logicznych:
ABC123:
\(\displaystyle{ Y=p+q}\)
D123:
\(\displaystyle{ \neg Y= \neg p* \neg q}\)
Dodajmy do siebie logicznie wszystkie cztery linie tabeli:
\(\displaystyle{ Y+ \neg Y = p*q + p* \neg q + \neg p*q + \neg p* \neg q}\)
Lewa strona:
\(\displaystyle{ Y+ \neg Y=1}\)
Prawa strona:
\(\displaystyle{ p*q + p* \neg q + \neg p*q + \neg p* \neg q = p(q+ \neg q) + \neg p(q+ \neg q) = p+ \neg p =1}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ 1=1}\)
W równaniach algebry Boole’a dostaliśmy dokładnie to samo co widzimy wyżej w tabeli zero-jedynkowej. W obszarze ABCD456 brak jest jakiejkolwiek logiki w zerach i jedynkach. Cała logika przerzucona została na równania algebry Boole’a, czyli na naturalną logikę człowieka.
Zapiszmy wejścia p i q w postaci symbolicznej metodą Yorgina poprzez sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek, nie ruszając wyjścia Y.
Otrzymujemy tabelę symboliczną:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l|r|r|l}
p & q & Y=p+q & p & q & Y=p+q\\
1 & 1 & 1 & p & q & 1\\
1 & 0 & 1 & p & \neg q & 1\\
0 & 1 & 1 & \neg p & q & 1\\
0 & 0 & 0 & \neg p & \neg q & 0
\end{array}}\)
Stąd mamy:
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Do zapamiętania:
Algorytm przejścia z definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej jest banalny:
1.
Jeśli na danej pozycji jest 1 to przepisujemy nagłówek tabeli
2.
Jeśli na danej pozycji jest 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli
Algorytm odwrotny, czyli z zapisu symbolicznego do równań algebry Boole’a też musi istnieć.
Definicja:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowe jest zawsze nagłówek tabeli
W naszej tabeli nagłówek to:
\(\displaystyle{ Y=p+q}\)
stąd mamy:
\(\displaystyle{ p=1, \neg p=0}\)
\(\displaystyle{ q=1, \neg q=0}\)
\(\displaystyle{ Y=1, \neg Y=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{l|r|r|l|r|r|l}
& p & q & Y=p+q & p & q & Y=p+q\\
A: & p & q & 1 & 1 & 1 & 1\\
B: & p & \neg q & 1 & 1 & 0 & 1\\
C: & \neg p & q & 1 & 0 & 1 & 1\\
D: & \neg p & \neg q & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}}\)
Algorytm odwrotny:
1.
Jeśli zmienna na danej pozycji jest zgodna z nagłówkiem tabeli to zapisujemy 1
2.
Jeśli zmienna na danej pozycji nie jest zgodna z nagłówkiem tabeli to zapisujemy 0
Głównym celem powyższego rozumowania było wyprowadzenie symbolicznej definicji operatora logicznego.
W technice cyfrowej dowolny układ logiczny może być zbudowany na nieskończenie wiele sposobów. Załóżmy że mamy układ logiczny o dwóch wejściach p i q oraz jednym wyjściu Y, zrealizowany przy pomocy 1000 bramek logicznych, to jest fakt który fizycznie stwierdzamy. Układ zbudował nieznany nam konstruktor inż. Gamoń.
Czy musimy rysować schemat ideowy tego układu, układać równanie logiczne i je minimalizować, aby rozszyfrować jak działa?
Nie!
Wymuszamy wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na wejściach p i q i na wyjściu Y dostajemy jednoznacznie określoną funkcję logiczną np. jak wyżej.
Wniosek:
To jest banalna bramka OR, ten inż. Gamoń to rzeczywiście Gamoń.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego w technice cyfrowej:
Operator logiczny (
\(\displaystyle{ Y}\)) to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na wejściach układu.
Definicja symboliczna operatora logicznego:
Operator logiczny (
\(\displaystyle{ Y}\)) to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)
2.0 Implikacja i równoważność
Zajmijmy się teraz zdaniami typu:
Jeśli
\(\displaystyle{ p}\) to
\(\displaystyle{ q}\)
Najbardziej ogólny spójnik w implikacji i równoważności to:
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) - jeśli zajdzie p to może zajść q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja chaosu:
Chaos = wszystko może się zdarzyć, nic nie można matematycznie przewidzieć
Definicja chaosu w operatorze logicznym:
Chaos to brak gwarancji matematycznej w kompletnej definicji operatora logicznego, czyli nie ma gwarancji matematycznej w żadnej z czterech linii.
Na mocy definicji operator chaosu to same jedynki w wyniku (wszystko może się zdarzyć).
Definicja chaosu:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l|r|r|l|rrr|l}
& p & q & Y=p \rightarrow \rightarrow q & p & & q & Y=p \rightarrow \rightarrow q\\
& & & & & & &\\
A: & 1 & 1 & 1 & p & \rightarrow \rightarrow & q & 1\\
B: & 1 & 0 & 1 & p & \rightarrow \rightarrow & \neg q & 1\\
& & & & & & &\\
C: & 0 & 0 & 1 & \neg p & \rightarrow \rightarrow & \neg q & 1\\
D: & 0 & 1 & 1 & \neg p & \rightarrow \rightarrow & q & 1
\end{array}}\)
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow q}\)
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) to może zajść
\(\displaystyle{ q}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Zauważmy, że nieprzypadkowo ustawiliśmy wiersze dokładnie w takiej kolejności.
Z zapisu symbolicznego w widzimy że:
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) to może zajść
\(\displaystyle{ q}\) albo
\(\displaystyle{ \neg q}\)
Nie ma innych możliwości matematycznych.
Jeśli weźmiemy obiekt zgodny z
\(\displaystyle{ p}\), to może on być zgodny z
\(\displaystyle{ q}\) lub z
\(\displaystyle{ \neg q}\), zatem spójnik „może” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\) oznacza wybór jednej z dwóch możliwości.
Identycznie jest w dwóch ostatnich liniach:
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ \neg p}\) to może zajść
\(\displaystyle{ \neg q}\) lub
\(\displaystyle{ q}\)
Jeśli weźmiemy obiekt zgodny z
\(\displaystyle{ \neg p}\), to może on być zgodny z
\(\displaystyle{ \neg q}\) lub z
\(\displaystyle{ q}\), zatem spójnik „może” miedzy
\(\displaystyle{ \neg p}\) i
\(\displaystyle{ \neg q}\) oznacza wybór jednej z dwóch możliwości.
Zauważmy, że dowolny obiekt nie może być jednocześnie
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ \neg p}\).
Jeśli wszystkie możliwe obiekty
\(\displaystyle{ p}\) będą zgodne z
\(\displaystyle{ q}\) to mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym w logice dodatniej (bo
\(\displaystyle{ q}\)), oczywiście wymusza to brak obiektów zgodnych z
\(\displaystyle{ p}\) i zgodnych z
\(\displaystyle{ \neg q}\).
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo
\(\displaystyle{ q}\)) jest następująca:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow \neg q=0}\)
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) to na pewno zajdzie
\(\displaystyle{ q}\)
Zajście
\(\displaystyle{ p}\) jest wystarczające dla zajścia
\(\displaystyle{ q}\), bo sytuacja zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) i nie zajdzie
\(\displaystyle{ q}\) nie ma prawa zaistnieć na mocy definicji.
Gdzie:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)
Jak widzimy pierwsze dwie linie naszej tabeli uległy modyfikacji.
W pierwszej linii tabeli zmieniliśmy znaczek „może”
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) na znaczek „na pewno”
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) .
Jest to oczywistością, bowiem na mocy definicji nie może być żadnego obiektu zgodnego z
\(\displaystyle{ p}\) i zgodnego a
\(\displaystyle{ \neg q}\).
Nanieśmy naszą poprawkę do tabeli wyżej.
\(\displaystyle{ \begin{array}{l|r|r|l|rrr|l}
& p & q & Y=p \Rightarrow q & p & & q & Y=p \Rightarrow q\\
& & & & & & &\\
A: & 1 & 1 & 1 & p & \Rightarrow & q & 1\\
B: & 1 & 0 & 0 & p & \rightarrow \rightarrow & \neg q & 0\\
& & & & & & &\\
C: & 0 & 0 & 1 & \neg p & \rightarrow \rightarrow & \neg q & 1\\
D: & 0 & 1 & 1 & \neg p & \rightarrow \rightarrow & q & 1
\end{array}}\)
Oczywiście nasza nowa tabela nie jest już operatorem chaosu bo mamy gwarancję matematyczną w linii A.
To jest ewidentna tabela implikacji prostej, z gwarancją matematyczną w linii A!
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) to na pewno zajdzie
\(\displaystyle{ q}\)
Zajście
\(\displaystyle{ p}\) jest warunkiem wystarczającym na to aby zaszło
\(\displaystyle{ q}\)
Przykład zdania spełniającego definicję warunku wystarczającego:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
\(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK =1}\)
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może nie zachodzić suma kwadratów
\(\displaystyle{ TP \rightarrow \rightarrow \neg SK=0}\)
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej:
A:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
B:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow \neg q =0}\)
Możliwe są dwa równoważne dowody:
1.
Dowód wprost:
Sprawdzamy, czy każdy obiekt
\(\displaystyle{ p}\) jest zgodny z
\(\displaystyle{ q}\)
Jeśli tak to:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
2.
Dowód nie wprost (kontrprzykład):
A.
Sprawdzamy czy istnieje jeden obiekt spełniający zdanie A:
A:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow q =1}\)
B.
Sprawdzamy czy zdanie B jest prawdziwe:
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ p}\) to może zajść
\(\displaystyle{ \neg q}\)
B:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow \neg q =1}\)
Jeśli znajdziemy jeden taki obiekt to:
A:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =0}\)
Jeśli nie znajdziemy żadnego takiego obiektu to:
A:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
Jak udowodnić czy nasze zdanie A wchodzi w skład operatora implikacji?
Jeśli udowodnimy prawdziwość linii C i D (znajdując po jednym obiekcie) to nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej co widać w powyższej tabeli.
Zróbmy to dla naszego przykładu:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może nie zachodzić suma kwadratów
C:
\(\displaystyle{ \neg TP \rightarrow \rightarrow \neg SK=1}\) - znaleźliśmy jeden taki przypadek, ok.
D:
\(\displaystyle{ \neg TP \rightarrow \rightarrow SK =0}\) !
Wniosek:
Zdanie A z naszego przykładu na pewno nie spełnia zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.
Czym jest zatem nasze zdanie?
Z linii C i D widać, że nasze zdanie jest warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo
\(\displaystyle{ \neg SK}\)).
Czyli poprawny zapis ogólny dla zdań C i D w naszym przypadku jest taki:
C:
\(\displaystyle{ \neg p \Rightarrow \neg q =1}\)
D:
\(\displaystyle{ \neg p \rightarrow \rightarrow q =0}\)
\(\displaystyle{ \neg p \Rightarrow \neg q}\)
Jeśli zajdzie
\(\displaystyle{ \neg p}\) to na pewno zajdzie
\(\displaystyle{ \neg q}\)
Zajście
\(\displaystyle{ \neg p}\) jest warunkiem wystarczającym dla zajścia
\(\displaystyle{ \neg q}\)
Znów musimy zmodyfikować naszą tabelę:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l|r|r|l|rrr|l}
& p & q & Y=p \Leftrightarrow q & p & & q & Y=p \Leftrightarrow q\\
& & & & & & &\\
A: & 1 & 1 & 1 & p & \Rightarrow & q & 1\\
B: & 1 & 0 & 0 & p & \rightarrow \rightarrow & \neg q & 0\\
& & & & & & &\\
C: & 0 & 0 & 1 & \neg p & \Rightarrow & \neg q & 1\\
D: & 0 & 1 & 0 & \neg p & \rightarrow \rightarrow & q & 0
\end{array}}\)
Doskonale widać, że mamy teraz do czynienia z operatorem równoważności.
Z naszej analizy wynika definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) w logice dodatniej (bo
\(\displaystyle{ q}\)) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo
\(\displaystyle{ \neg q}\)).
Mamy zatem następującą definicję symboliczną:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q)*( \neg p \Rightarrow \neg q)}\)
Wnioski z naszej analizy:
Jeśli udowodnimy prawdziwość warunku wystarczającego w logice dodatniej:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
to wiem że nic nie wiem bo:
1.
Zdanie to może wchodzić w skład definicji operatora równoważności
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*( \neg TP \Rightarrow \neg SK) = 1*1=1}\)
albo:
2.
Zdanie
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) może wchodzić w skład definicji implikacji gdzie istnieje co najmniej po jednym przypadku prawdziwym w liniach C i D.
Przykład takiego zdania:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
\(\displaystyle{ P8 \Rightarrow P2 =1}\)
Dowód:
Załóżmy że to jest równoważność i zastosujmy definicję równoważności:
\(\displaystyle{ P8 \Leftrightarrow P2 = (P8 \Rightarrow P2)*( \neg P8 \Rightarrow \neg P2) = 1*0 =0}\)
Zdanie:
\(\displaystyle{ \neg P8 \Rightarrow \neg P2}\)
Jest fałszywe bo kontrprzykład: 2
Wniosek:
Zdanie
\(\displaystyle{ P8 \Rightarrow P2}\) wchodzi w skład operatora implikacji prostej
Podsumowanie:
Jak widzimy idąc śladami Boole’a posunęliśmy się o znaczący krok do przodu.
Warunek wystarczający:
A:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q =1}\)
B:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow \neg q=0}\)
Nie jest kompletnym operatorem logicznym, to tylko połówka operatora, nie wiemy jakiego, nawet po udowodnieniu prawdziwości tego zdania!
Dalsze wykłady z logiki są bajecznie proste po przejściu na teorię zbiorów gdzie doskonale widać kompletne definicje wszystkich operatorów logicznych z wszelkimi szczegółami.
3.0 Dyskusja
yorgin pisze:
Oczekuję od kubusia wypisania pełnej tabeli dla operatorów
\(\displaystyle{ \rightarrow}\)
oraz
\(\displaystyle{ \rightarrow\rightarrow}\)
bo już w tym wielkim chaosie pogubiłem się totalnie. Wydawało mi się, że zaczynam rozumieć, ale chyba jednak nie do końca to rozumiem. Bez tabeli nie mam zamiaru prowadzić dalszej dyskusji, gdyż nie mam pojęcia jakie wartościowania mają te operatory.
Myślę, że wobec totalnej odwrotności naszych systemów najrozsądniejsze będzie mówić „czego nie rozumiem” a nie udowadniać na gruncie KRZ iż Kubuś wypisuje głupoty.
Definicja operatora chaosu (omówienie w wykładzie wyżej):
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l}
p & q & Y=p \rightarrow \rightarrow q\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{array}}\)
Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow q=1}\)
co udowodniono w wykładzie wyżej
Co oznacza że w tym przypadku operator logiczny jest dokładnie tym samym co spójnik logiczny
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) - naturalny spójnik „może” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\), wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja operatora implikacji prostej:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l}
p & q & Y=p \Rightarrow q\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{array}}\)
Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p \rightarrow \neg q}\)
Definicja implikacji odwrotnej:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l}
p & q & Y=p \rightarrow q\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}}\)
Ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a:
\(\displaystyle{ p \rightarrow q = \neg p \Rightarrow \neg q}\)
Równanie ogólne implikacji:
Implikacja prosta ## implikacja odwrotna
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p \rightarrow \neg q}\) ##
\(\displaystyle{ p \rightarrow q = \neg p \Rightarrow \neg q}\)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|r|l}
p & q & Y=p \Leftrightarrow q\\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}}\)
Definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q)*( \neg p \Rightarrow \neg q)}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow}\) - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\) („rzucanie monetą”)
Z równań opisujących definicje implikacji wynika że nie istnieje definicja implikacji ani prostej, ani odwrotnej, bez najzwyklejszego „rzucania monetą”, warunku koniecznego!
Wniosek:
Logika która poszukuje wyłącznie warunków wystarczających nie jest w stanie odróżnić warunku wystarczającego wchodzącego w skład implikacji prostej, gdzie przemienność argumentów nie zachodzi (patrz wykład wyżej)
Definicja implikacji prostej:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p \rightarrow \neg q}\)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez
\(\displaystyle{ 8}\) to jest podzielna przez
\(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ P8 \Rightarrow P2 = \neg P8 \rightarrow \neg P2}\)
Od warunku wystarczającego wchodzącego w skład równoważności gdzie przemienność argumentów zachodzi:
Definicja równoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q)*( \neg p \Rightarrow \neg q) = (p \Rightarrow q)*(q \Rightarrow p)}\)
Przykład:
Warunek wystarczający:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
\(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK}\)
Definicja równoważności:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*( \neg TP \Rightarrow \neg SK) = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP) =1*1=1}\)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## implikacja odwrotna ## równoważność
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Patrz wykład wyżej.
pyzol pisze:
Definicja operatora chaosu w równaniu algebry Boole'a (same jedynki w wyniku - wszystko jest możliwe):
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow q}\)
A to jak Ty wrzucasz chaos do logiki, to nic dobrego nie wyjdzie.
Spoko, wyjdzie piękna, jednoznaczna matematyka.
Wyobraź sobie że jesteś Pitagorasem i zauważasz na jednym, jedynym trójkącie prostokątnym iż dla boków 3,4,5 ten trójkąt jest prostokątny.
Jak to zapisać matematycznie?
A.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki 3,4,5
?
B.
Jeśli trójkąt ma boki 3,4,5 to na pewno jest prostokątny
\(\displaystyle{ B345 \Rightarrow PR}\)
… a inne trójkąty?
Jeśli trójkąt nie ma boków 3,4,5 to może być prostokątny
\(\displaystyle{ \neg B345 \rightarrow \rightarrow PR}\) = 1 bo znalazłem drugi taki przypadek
9,16,25
… no i znajdujesz kolejne kilka takich prostokątów
Czy widzisz już genialność znaczka
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) ?
Wszystko o tym znaczku masz w wykładzie „Śladami Boole’a” na początku postu.
Nie ma matematyki bez znaczka \(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) !
royas pisze:Po dowodzie jak wyżej możemy mieć pewność że wszelkie zdania z tymi parametrami, obojetnie z jak zanegowanymi zmiennymi będą zawsze prawdziwe, czyli mamy .. matematycznego śmiecia.
Czy dobrze rozumiem, że wyrażenia prawdziwe dla każdego wartościowania to matematyczne śmieci?
Royasie,
Jeśli udowodnisz że zdanie X spełnia definicję chaosu to nie masz tu czego szukać, wszelkie zdania z dowolnie zanegowanymi p i q, łącznie z zamianą p i q będą prawdziwe, czyli masz do czynienia z matematycznym śmieciem.
Ile jest warte twierdzenie typu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
\(\displaystyle{ P3 \rightarrow \rightarrow P8}\) =1 bo 24
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
\(\displaystyle{ P3 \rightarrow \rightarrow P8}\) =1 bo 24
\(\displaystyle{ P3 \rightarrow \rightarrow \neg P8}\) =1 bo 3
\(\displaystyle{ \neg P3 \rightarrow \rightarrow \neg P8}\) =1 bo 5
\(\displaystyle{ \neg P3 \rightarrow \rightarrow P8}\) =1 bo 8
Po udowodnieniu iż zdanie A spełnia definicję operatora chaosu, zauważ że zrobiłem to zaledwie czteroma iteracjami (sic!), wszelkie wartościowania z tego zdania są bezsensowne, czyli to są matematyczne śmieci.
W logice Ziemian, która nie uznaje tego znaczka
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) też możesz rozstrzygnąć to samo, tylko po co się męczyć i w każdym z powyższych zdań zakładać spójnik „na pewno”
\(\displaystyle{ P3 \Rightarrow P8}\)
po czym obalać go kontrprzykładem?
Po co takie komplikacje skoro i tak koniec końców zrobisz dokładnie to co ja bo moja analiza odpowiada twoim kontrprzykładom.
JakimPL pisze:Zdanie "jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ A}\), to może \(\displaystyle{ y}\) jest \(\displaystyle{ B}\)" przemyca kwantyfikator egzystencjalny. By móc orzec, czy zdanie jest prawdziwe, musimy odwołać się do wszystkich obiektów \(\displaystyle{ y}\) (z pewnego ustalonego zbioru), a dokładniej stwierdzić, czy:
\(\displaystyle{ A(x)\Rightarrow \exists_y B(y)}\)
gdzie \(\displaystyle{ B(y)}\) oznacza \(\displaystyle{ y}\) ma własność \(\displaystyle{ B}\). Tak więc zdanie "jeżeli figura jest prostokątem, to może być kwadratem" jest zdaniem prawdziwym, ponieważ istnieje prostokąt, który jest kwadratem, a więc implikacja jest spełniona. Natomiast zdanie "jeżeli figura jest okręgiem, to może być wielokątem foremnym" jest fałszywe, ponieważ nie można znaleźć takiej figury, która byłaby okręgiem i jednocześnie wielokątem foremnym.
Przynajmniej ja to tak rozumiem. Wspomniany system jest dla mnie niespójny i wadliwy - łączy (niejawnie!) obiekty o różnej logicznie naturze.
.. ale po co takie komplikacje?
Ten znaczek:
\(\displaystyle{ \rightarrow \rightarrow}\) - naturalny spójnik „może” w przełożeniu na zbiory oznacza że istnieje co najmniej jeden wspólny element zbiorów
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\)
1.
Jeżeli figura jest okręgiem, to może być wielokątem foremnym
Zbiory
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\) są rozłączne, zatem:
\(\displaystyle{ p \rightarrow \rightarrow q}\) =0
2.
Jeżeli figura jest prostokątem, to może być kwadratem
\(\displaystyle{ PR \rightarrow \rightarrow KW}\) =1 bo istnieje wspólny element, kwadrat
Jak zbadać czy zachodzi tu warunek konieczny?
Prawo Kubusia:
\(\displaystyle{ PR \rightarrow KW = \neg PR \Rightarrow \neg KW}\)
Stąd:
Jeśli figura nie jest prostokątem to na pewno nie jest kwadratem
\(\displaystyle{ \neg PR \Rightarrow \neg KW}\) =1
Porównajmy to z wzorcową implikacją którą tu bez przerwy wałkujemy:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
\(\displaystyle{ P2 \rightarrow P8}\)
Sprawdzamy, czy zachodzi warunek konieczny korzystając z prawa Kubusia:
\(\displaystyle{ P2 \rightarrow P8 = \neg P2 \Rightarrow \neg P2}\)
stąd:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
\(\displaystyle{ \neg P2 \Rightarrow \neg P8}\) =1
