Twierdzenie o lokalnych geniuszach - zapis "formalny"

[Hadar]

Kiedyś na forum spotkałem się z twierdzeniem o lokalnych geniuszach w postaci "Dla każdego matematyka istnieje otoczenie, w którym jest on najwybitniejszy". Ostatnio zacząłem się zastanawiać jak to zapisać w sposób bardziej formalny. Jakieś propozycje?


Ja wymyśliłem coś takiego, ale ze względu na moją powierzchowną znajomoć matematyki, pewnie jest to nie spójne

\(\displaystyle{ \bigwedge_{m_{0} \in M} \bigvee_{U(m_{0}, r) \subset M} \bigwedge_{m \in U(m_{0}, r)} W(m_{0}) <W(m)}\)

Może tak być? Czy może jakieś inne propozycje?

[smigol]

A dlaczego ten zapis:

Dla każdego matematyka istnieje otoczenie, w którym jest on najwybitniejszy

miałby być mniej formalny od zapisu z kwantyfikatorami.

[Hadar]

Nie o to mi chodziło, że zapis słowny czymkolwiek ustępuje zapisowi z kwantyfikatorami. Chciałbym to po prostu zapisać w maksymalnie poprawnej formie za pomocą kwantyfikatorów.

[xanowron]

A dlaczego ten zapis:

Dla każdego matematyka istnieje otoczenie, w którym jest on najwybitniejszy

miałby być mniej formalny od zapisu z kwantyfikatorami.

Widocznie nie jest wystarczająco pr0 : (

[Hadar]

Wybaczcie mi, że ubliżyłem zapisowi słownemu, nie to miałem na myśli. Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa! Po prostu chciałem to zapisać stosując kwantyfikatory...

[xanowron]

Jak tak to chcesz zapisać to musisz zdefiniować jakoś zbiór matematyków, relacje porządku i działania na nim

[Hadar]

Jak tak to chcesz zapisać to musisz zdefiniować jakoś zbiór matematyków, relacje porządku i działania na nim

no załóżmy że M to jest przeliczalny zbiór matematyków i relacje porządku oraz działania na nim są jak w zbiorze liczb naturalnych :>

[Frey]

Ciekawe gdzie Ty znalazłeś takie twierdzenie

[Hadar]

Jakieś pół roku temu w Twoim opisie Nie pamiętałem tylko czyj to opis był :>

[grzechoo]

Przede wszystkim należało by zdefiniować występujące w tym twierdzeniu wielkości:
\(\displaystyle{ M=\{m_0,m_1,\ldots,m_n\}}\) zbiór wszystkich matematyków (jako zbiór równoliczny z pewnym skończonym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)).
\(\displaystyle{ d(m_l,m_k)}\) to odległość między matematykami \(\displaystyle{ m_l}\) i \(\displaystyle{ m_k}\) w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.
\(\displaystyle{ W(m_k)}\) funkcja przypisująca "wybitność" matematykowi. Oczywiście im wybitniejszy matematyk tym wartość funkcji \(\displaystyle{ W}\) jest wyższa.

Teraz możemy zapisać to twierdzenie:
\(\displaystyle{ \displaystyle \bigwedge_{m_k\in M} \quad \bigvee_{r>0} \bigwedge\limits_{\scriptsize{
\begin{array}{c}
m_l \in M\\ l\neq k \end{array} }} \quad d(m_l,m_k)<r \Longrightarrow W(m_l)<W(m_k).}\)
czyli dla dowolnego matematyka istnieje promień \(\displaystyle{ r}\), że każdy inny matematyk znajdujący się wewnątrz kuli o środku \(\displaystyle{ m_0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest "mniej wybitny".

Zastanawiam się jakby mógł wyglądać dowód takiego twierdzenia.
Ze względu na to, że zbiór wszystkich matematyków jest skończony to można po prostu sprawdzić^^
Ale wydaje mi się, że ze względu na gęstość zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) do którego należy \(\displaystyle{ r}\) to będzie się zawsze dało je znaleźć.

Zastanawiałem się nad innym twierdzeniem (chociaż w tym wypadku bardziej hipotezą):
Dla każdego matematyka istnieje takie otoczenie w którym znajdzie się inny matematyk który go "zagnie".

Ale to już nie na dzisiaj.