Nie wiem o co chodzi.

[Althorion]

Jak nie wiesz, to nie masz. Ale nie przejmuj się tym, rób to, co lubisz. Lepiej na tym wyjdziesz niż zadręczając się czymś, na co nie masz wpływu.

[wiskitki]

Sam pisałeś, że nie masz żadnego problemu z matma i co gorsza rozumiesz definicje, więc nie masz się co zadręczać

[mat_61]

Statek płynie z prądem rzeki z A do B w czasie 4h. Wraca pod prąd w czasie 8h. Ile czasu płynąłby statek z A do B z wyłączonym silnikiem.

\(\displaystyle{ (^*)t_{1} = \frac{s}{ v_{s} + v_{p} } \Rightarrow s = t_{1}(v_{s} + v_{p})}\)
\(\displaystyle{ (^{**})t_{2} = \frac{s}{ v_{s} - v_{p} } \Rightarrow v_{p} = v_{s} - \frac{s}{ t_{2} }}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{s}{ v_{p} } \Rightarrow (^{***}) t = \frac{t_{1}(v_{s} + v_{p})}{v_{s} - \frac{s}{ t_{2} }} = \frac{t_{1}(v_{s} + v_{p})}{ \frac{ v_{s} t_{2} - s }{ t_{2} } } = \frac{t_{1}(v_{s} + v_{p}) t_{2} }{v_{s} t_{2} - s}}\)

a powinno być: \(\displaystyle{ t = \frac{2 t_{1} t_{2} }{ t_{2} - t_{1} }}\)

I właśnie to jest jedno z zadań.....które nie umiem rozwiązać poprawnie.
Przy wyprowadzaniu mam pustkę co zrobić dalej.......

To może ja odniosę się do Twojego zadania. Zauważ na czym polega Twój błąd. Twoje obliczenia (przekształcenia) są jak najbardziej poprawne ale niestety nic nie wnoszą do zadania. Żeby obliczyć czas wprost z prostego wzoru dla ruchu jednostajnego:

\(\displaystyle{ t = \frac{s}{ v_{p} }}\)

wystarczyłaby znajomość dwóch danych a wg Twojego finalnego wzoru jeszcze dodatkowo trzech. Niestety tych wszystkich danych nie ma w treści zadania (a dokładnie to są tylko dwie z nich)

W zadaniu masz podane wartości \(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\) a masz obliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ t}\). Masz więc znaleźć takie zależności i zrobić takie przekształcenia aby wartość \(\displaystyle{ t}\) była wyrażona tylko za pomocą \(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\) i ewentualnie jakichś stałych wartości a nie za pomocą zmiennych których wartości nie znamy, czyli tak jak u Ciebie: \(\displaystyle{ v_{s}, \ v_{p} \ i \ s}\).

Zadanie nie polega więc na wykonaniu jakichś, choćby i poprawnych przekształceń ale na analizie jakie to powinny być przekształcenia aby ich zastosowanie dało oczekiwany rezultat.

Zauważ, że droga w obydwu kierunkach jest taka sama. Możesz więc przyrównać tą wartość wyznaczoną ze wzorów (*) oraz (**). Z otrzymanej w ten sposób równości wyznacz:

\(\displaystyle{ v_{s}=...}\)

Teraz do wzoru (***) wstaw w liczniku zamiast \(\displaystyle{ v_{s}}\) to co powyżej a w mianowniku zostaw \(\displaystyle{ v_{p}}\). Zobaczysz teraz jaki otrzymasz wynik (jeżeli będziesz miał ochotę zrobić te obliczenia).