Szkolne definicje omawianych tu obiektów są całkowicie poprawne matematycznie i zupełnie pożyteczne. Walor estetyczny dla zwolenników Platona może psuć to, że podczas gdy istnieje "esencja kwadratu", to już dla prostokąta jakby nieco gorzej, bo na przykład trzeba rozważać wszystkie możliwe kąty nieproste między przekątnymi. Żeby było równouprawnienie wśród czworokątów wyciśniemy esencję niektórych z nich.
Rozważmy czteropunktowy podzbiór \(\displaystyle{ Q}\) płaszczyzny zespolonej: \(\displaystyle{ \{1,-1,i,-i\}}\), który będzie służył za konstrukt dowolnego czworokąta.
Na tym zbiorze działa grupa \(\displaystyle{ D}\) generowana mnożeniem przez \(\displaystyle{ i}\) i sprzężeniem zespolonym \(\displaystyle{ \sigma}\). Jej elementy to:
Zanurzając \(\displaystyle{ Q}\) w dowolną przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ X}\) otrzymujemy czworokąty w tej przestrzeni. Grupy izometrii własnych tych czworokątów po stosownych, całkiem naturalnych zabiegach można widzieć jako podgrupy grupy \(\displaystyle{ G}\) i to będzie szukana "istota rzeczy". W zależności od rodzaju podgrupy otrzymujemy klasyfikację:
W geometrii nieprzemiennej da się zrealizować również podgrupę:
\(\displaystyle{ \{1,i,-1,-i\}}\)
Czworokąt realizujący taką podgrupę można sobie wyobrazić rozważając punkty na okręgu, po którym szybciej przemieszczamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, bo np. szaleje nad nim tornado.
Miłe jest to, że przecięciom danych klas czworokątów odpowiada (zwykły) iloczyn podgrup. Na przykład deltoid będący trapezem równoramiannym to kwadrat, bo: