Zagadnienie dla wybranych

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Zagadnienie dla wybranych

Post autor: Jan Kraszewski »

xanowron pisze:Ciekawe czy taką spostrzegawczość jaką ma Pan Jan można sobie wyrobić, czy to już cecha wrodzona...
W tym przypadku stawiałbym raczej na pewne doświadczenia z nauczania wstępu do matematyki.

JK
Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

Zagadnienie dla wybranych

Post autor: piti-n »

Dobra, widzę bład ( późna godzina znowu zrobiła swoje).
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Zagadnienie dla wybranych

Post autor: xiikzodz »

Szkolne definicje omawianych tu obiektów są całkowicie poprawne matematycznie i zupełnie pożyteczne. Walor estetyczny dla zwolenników Platona może psuć to, że podczas gdy istnieje "esencja kwadratu", to już dla prostokąta jakby nieco gorzej, bo na przykład trzeba rozważać wszystkie możliwe kąty nieproste między przekątnymi. Żeby było równouprawnienie wśród czworokątów wyciśniemy esencję niektórych z nich.

Rozważmy czteropunktowy podzbiór \(\displaystyle{ Q}\) płaszczyzny zespolonej: \(\displaystyle{ \{1,-1,i,-i\}}\), który będzie służył za konstrukt dowolnego czworokąta.

Na tym zbiorze działa grupa \(\displaystyle{ D}\) generowana mnożeniem przez \(\displaystyle{ i}\) i sprzężeniem zespolonym \(\displaystyle{ \sigma}\). Jej elementy to:

\(\displaystyle{ 1,i,-1,-i,\sigma,i\sigma,-\sigma,-i\sigma}\).

Zanurzając \(\displaystyle{ Q}\) w dowolną przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ X}\) otrzymujemy czworokąty w tej przestrzeni. Grupy izometrii własnych tych czworokątów po stosownych, całkiem naturalnych zabiegach można widzieć jako podgrupy grupy \(\displaystyle{ G}\) i to będzie szukana "istota rzeczy". W zależności od rodzaju podgrupy otrzymujemy klasyfikację:

\(\displaystyle{ D}\) - kwadrat
\(\displaystyle{ \{1,-1,\sigma,-\sigma\}}\) - romb
\(\displaystyle{ \{1,-1,i\sigma,-i\sigma\}}\)- prostokąt
\(\displaystyle{ \{1,-1\}}\) równoległobok
\(\displaystyle{ \{1,i\sigma\}}\) lub \(\displaystyle{ \{1,-i\sigma\}}\) - trapez równoramienny
\(\displaystyle{ \{1,\sigma\}}\) lub \(\displaystyle{ \{1,-\sigma\}}\) - deltoid.

W geometrii nieprzemiennej da się zrealizować również podgrupę:

\(\displaystyle{ \{1,i,-1,-i\}}\)

Czworokąt realizujący taką podgrupę można sobie wyobrazić rozważając punkty na okręgu, po którym szybciej przemieszczamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, bo np. szaleje nad nim tornado.

Miłe jest to, że przecięciom danych klas czworokątów odpowiada (zwykły) iloczyn podgrup. Na przykład deltoid będący trapezem równoramiannym to kwadrat, bo:

\(\displaystyle{ \langle \sigma\rangle\langle i\sigma\rangle=D}\),

albo rownoległobok będący deltoidem to romb, bo:

\(\displaystyle{ \langle-1\rangle\langle \sigma\rangle=\langle -1,\sigma\rangle}\).
ODPOWIEDZ