Liczby zespolone - właściwie z czym to się je?

bybek5 · Post autor: **bybek5** » 5 cze 2010, o 23:55

Właśnie przerabiam prąd sinusoidalnie przemienny i między innymi tutaj liczby zespolone znalazły swoje zastosowanie.

Ale zastanawia mnie fakt dlaczego te liczy zespolone tutaj pasują? Co to są właściwie te liczy zespolone? Że można obliczyć deltę mniejszą niż 0? Że można obliczyć reaktancję? Ale dlaczego na przykład reaktancję można obliczyć z liczb zespolonych. Jakie właściwości mają liczy zespolone, że akurat tutaj pasują?

Wiem jak się liczy liczby zespolone. Ale jaka jest ich egzystencja - tego nie mogę pojąć.

Można prosić o jakieś łopatologiczne wytłumaczenie?

filip.wroc · Post autor: **filip.wroc** » 6 cze 2010, o 00:51

matematyka dazy do generalizowania. tak dosc prymitywnie i nie jestem pewien czy do konca zgodnie z rzeczywistoscia rozwoj wygladal mniej wiecej tak:
pierwsze malpy ktore zeszly z drzew umialy okreslic ilosc porownujac zbior obiektow ze zbiorem palcow. potem zauwazyly ze maja jeszcze palce u nog, do tego palce innych malp - ogolem wymyslily cos takiego jak liczby naturalne.
potem stwierdzily ze fajnie by bylo okreslic polowki, cwiartki, etc. zauwazyly ze tak dlugo mozna to ciagnac, ile jest liczb. powoli zaczal powstawac zbior liczb wymiernych. malpom zaczely rosnac brody i powoli zblizaly sie do poziomu inteligencji pozwalajacego na wyskakiwanie z wanny z krzykiem 'eureka!'.
po pewnym czasie pozyczyly od Arabow zero, postawily smieszna kreske kolo liczby, taka sama jak przy odejmowaniu i stwierdzily, ze choc na palcach tego nie pokaza, to w banku sie przyda liczba, ktora jest mniejsza niz nic - powstaly liczby calkowite. do tego dolozyly znow dzielenie ich przez siebie i rozwinely wymierne do znanej nam postaci.
potem zaczely bawic sie w rysowanie. brody rosly im coraz dluzsze, a wanny byly coraz czestsze. zauwazyly istnienie czegos takiego jak pierwiastki i ze pierwiastka ni zgnilego melona nie przedstawisz jako iloraz dwoch liczb. zaczely zauwazac istnienie liczb niewymiernych. rysujac dalej, wynalazly kreske, na kresce pozaznaczaly liczby, spelnilo sie przypuszczenie, ze sa liczby wymierne i nie. stworzyly liczby rzeczywiste.
dalej brodacze rozwineli kulture, wojny, eskterminacje, zeszli do sredniowiecza... wyszli z sredniowiecza, zaczeli matematyzowac dalej. jeszcze za czasow wanien wymyslili chociazby rownania kwadratowe i stwierdzili ze czasem im nie wychodza. w koncu, juz po sredniowieczu stwierdzili ze wypadaloby jednak je rozwiazac. zamiast jednej liczby wzieli pary liczb, wymyslili smieszny sposob na mnozenie ich, wpadli na pomysl liczby 'i', udalo im sie rozwiazac kazde rownanie kwadratowe jakie by tylko chcieli. w miedzyczasie (a wlasciwie wczesniej) juz malo malpowata malpa na ktora wolali Kartezjusz stwierdzila ze fajnie byloby powiedziec ze kartka papieru to nieskonczenie wiele par liczb.
potem znow ktos zauwazyl ze zarowno u Kartezjusza jak i w wypasionych rownaniach kwadratowych sa po dwie liczby, wiec czemu by ich nie utzosamic? a jak sie utozsami, przypomni sobie wynalazek malp wannowych, ktorym byla trygonometria, to czemu by nie zapisac dwoch liczb jako postac trygonometryczna?
a potem Euler pokazal co to jest 'e', po e przyszlo rozwiniecie e do x, zauwazono, ze e do x mozna zapisac jako sinusy i cosinusy, wrocono do wypasionych rownan kwadratowych, polaczono to... ogolem - zogolizowano. a w miedzyczasie nazwano liczbami zespolonymi.

potem przyszly kwaterniony, gdzie sa po 4 liczby, gdzies tam w miedzyczasie powstaly macierze, ktore daja nam wiele liczb na raz...

w skrocie moral historii jest taki - jak masz prosta to ja przetnij z inna. a potem zapisz wzor jak mozna dowolna ilosc prostych przeciac.

bybek5 · Post autor: **bybek5** » 6 cze 2010, o 10:30

masz chłopie epicki talent. Tylko zastanawia mnie jeszcze dlaczego te liczby znalazły swoje zastosowanie w elektrotechnice i obliczaniu prądu zmiennego.

miki999 · Post autor: **miki999** » 6 cze 2010, o 11:42

Ekspertem nie jestem, ale wydaje mi się, że wszystkie obliczenia można równie dobrze przeprowadzić bez l. zespolonych. Dlaczego więc je się stosuje?
Po 1. w elektrotechnice używa się funkcji harmonicznych.
Po 2. oszczędność liczenia.

Niekiedy oszczędzamy sobie różniczkowania (czy też całkowania), dzięki czemu obliczenia stają się znacznie krótsze.

Pozdrawiam.

bybek5 · Post autor: **bybek5** » 6 cze 2010, o 14:10

No właśnie czytałem o tym, że dzięki liczbom zespolonym zastępujemy w pewien sposób całkowanie i różniczkowanie.

Ale nie wiem dlaczego tak jest.

miki999 · Post autor: **miki999** » 6 cze 2010, o 14:29

Bo np. jeżeli mamy liczbę \(\displaystyle{ z}\) i chcemy ją zróżniczkować po czasie, to:
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dt}= \frac{d(|z|e^{i \varphi})}{dt}= \frac{dz}{d \varphi} \cdot \frac{d\varphi}{d t}=i \frac{d\varphi}{d t} \cdot z}\)

Pozdrawiam.

bybek5 · Post autor: **bybek5** » 6 cze 2010, o 16:08

Dobra. Znowu wiem, trochę więcej
Dzięki za odpowiedzi.

Ma?ko · Post autor: **Ma?ko** » 11 cze 2010, o 17:16

A czy to prawda, że procesory posługują się liczbami zespolonymi?

jak to możliwe i po co im współczynnik urojony w obliczeniach? w ogóle jak wyglądają takie obliczenia?
przecież z tego co wiem w dużym skrócie najogólniej to komputery pracują na 0 i 1 (nie ma, jest / nie płynie,płynie prąd)

i co to jest właściwie ta moc obliczeniowa i na czym polega? (swoimi słowami)
jeśli komputer wykonuje zaawansowane operacje, interpretuje kod źródłowy, to co on tam oblicza (oprócz tego co dotyczy matmy) ???

filip.wroc · Post autor: **filip.wroc** » 17 cze 2010, o 23:30

naprawde oczekujesz, ze ktos Ci wytlumaczy na forum cos, do czego wstep zajmuje 30 godzin na pierwszym semestrze informatyki?

co do operowania na zespolonych - nie slyszalem o czyms takim, ale jestem sklonny uwierzyc... jezeli buduje sie juz procesory ktore moga obslugiwac kod Javy jako swoj assembler, to czemu nie?

poza tym to co przypuszczalnie uwazasz za procesor, to tylko jedna z klas procesorow. procz PCtowych Inteli itp masz chocby procesory sygnalowe (uzywane m.in. w odtwarzaczach dvd, komorkach, odtwarzaczach mp3, etc) albo procesory MIPS (zupelnie rozna architektura niz x86). Nie wspomne o roznej dlugosci slowa (od starych 8bitowych, przez chyba najpopularniejsze 32bitowe, po nowoczesne 64bitowe). Do tego dochodzi wiele rdzeni, systemy wieloprocesorowe... Jak patrze na rozklad studiow Informatyka na PWR, to do Inzyniera zdazymy co nieco zapoznac sie z tematem, ale tylko na tyle zeby w razie czego mozna bylo samemu sie zainteresowac, a nie zeby byc specjalista....

argv · Post autor: **argv** » 18 cze 2010, o 11:11

jak to możliwe i po co im współczynnik urojony w obliczeniach? w ogóle jak wyglądają takie obliczenia?

Bo np biorąc jako punkty pierwiastki zespolone z jedynki możesz obliczyć wartość wielomianu w tych punktach w czasie \(\displaystyle{ \Theta(nlgn)}\) - FFT, a dzięki temu można już mnożyć wielomiany w czasie \(\displaystyle{ \Theta(nlgn)}\) zamiast tradycjnego kwadratowego splotu i robić duuużo innych rzeczy (całe cyfrowe przetwarzanie sygnałów - wiki), A żeby to działało ultra-wydajnie implementuje się to często sprzętowo ale nie wiem czy działa się na strice liczbach zespolonych czy są one po prtosu jakoś tam reprezentowane.