Opowiesc wigilijna , bajka matematyczna

[mol_ksiazkowy]

Opowieść wigilijna

Usiądźcie, Czytelnicy, szarą grudniową godziną przy kominku i posłuchajcie

Jak trzy wektory wyznacznik do zera przyrównały

Za siedmioma przestrzeniami, za siedmioma podprzestrzeniami, dana była pewna unormowana, dobrze uporządkowana rodzina wektorów w1, w2, w3, ... . Nie były one przynależne do żadnej wartości własnej, a mimo to rodzina żyła zgodnie i szczęśliwie. Nie mieli żadnych kłopotów, prócz jednego: jak zarobić na życie. Od okresu do okresu, od -pi do +pi pracowali w pocie czoła w bazie wielowymiarowego Sympleksu - wyzyskiwacza, darmozjada i homotopijcy, który całe swoje życie przeżył według zasady najmniejszego działania. I ruszyli się wektorowi bracia, striangulowali Sympleks, zrobili z niego Kompleks, ale doli swej nie polepszyli. Wyczynia on z nimi swoje homologiczne sztuczki: a to na brzeg wyrzuci, a to obszar określoności do punktu ściągnie ...

- Niedobrze żyć z takim Kompleksem - doszli do wniosku bracia. Nie ma na niego żadnych ograniczeń. I umyślili trzej najstarsi bracia w1, w2 i w3 wyruszyć w świat, obejść wszystkie przestrzenie i wszystkie podprzestrzenie, wszystkie powierzchnie i rozmaitości i znaleźć dogodny i prawy układ współrzędnych. Pokłonili się po raz ostatni starej Macierzy, podjęli ją za kolumny, a potem wyszli na czysto potencjalne pole i ruszyli ze skokiem h/2 dokąd oczy poniosą. pi idą, 2pi idą, 3pi idą, a potencjał wokół nich maleje i maleje. Popatrzyli bracia, a tu przed nimi na gładziutkiej płaszczyźnie zespolonej bieleje potok stabilny. Nie zwyczajny to potok, bo w podkowę Smale'a się zawijający.
- Ech połowić by rybki - westchnął w1.
- A czemuż by nie ? - zgodzili się bracia. Z punktu brzegowego zarzucili swą sieć epsilonową, którą już dziad ich dziada w nieośrodkowych oceanach domykał. A trzeba wam wiedzieć, że drzewiej nie takie epsilony jako dziś bywały. Patrzą bracia: w sieci ryba-sigma się trzepocze, ludzkim głosem przemawia:

- Nie gubcie mnie, moi mili, wypuśćcie mnie do wody, a jeszcze się wam za to odwdzięczę.

Wypuścili ją bracia na wolność, a sami dalej poszli. Uszli trochę, więcej niż 0, mniej niż +nieskończoność, patrzą: przy drodze mały parametr stoi, z głodu płacze. Ulitowali się nad nim bracia, nakarmili. Zaczął rosnąć parametr, a gdy osiągnął lokalne maksimum, pokłonił się braciom w pas i powiada: "Pamiętajcie o mnie, a ja jeszcze mogę się wam przydać". I przepadł tak, jakby go w ogóle nie było.

Pociemniało nagle niebo, słońce schowało się za czarną chmurę. Zawirowały w powietrzu liście Kartezjusza, zakręciły się turbulentne wiry, na polach wektorowych zakołysały się snopy koherentne, źdźbła z nich wiązkami lecą. Ogniste błyskawice rozdarły niebieską sferę Riemanna. Obejrzeli się bracia, szukają schronienia. Patrzą: przy drodze stoi chatka na kurzej łapce.

- Chatko, chatko. Odwróć się do nas plusem, do lasu minusem! - Zakołysała się chatynka, zakręciła. Weszli bracia do środka i dusza im się raduje. Stoi na środku izby stół i ugina się od jadła. Podjedli bracia, pytają: "Jest tu kto? Odezwij się, w imię Boże". Patrzą, a zza pieca wychodzi kudłaty stwór: ni to wektor, ni skalar, szczeciną pokryty, zakuty w łańcuchy.
- Witajcie mileńcy moi. Jestem dobrym czarodziejem, a nazywam się Ko-Szi Mak-Loren. Już pół życia tu siedzę, pod strażą okrutnej Nabli - Jagi, bo nie chciałem się stosować do jej zasady nieoznaczoności...

Nie zdążył dokończyć, bo oto zaświszczało coś i zaszumiało coś za chatką. "Uciekajmy", wykrzyknął Ko-Szi Mak-Loren. Rozkuli go bracia i biegną wszyscy ile sił w nogach. Obejrzeli się za siebie i widzą: leci po niebie przepiękna Delta. Uderzyła Delta o ziemię, stanęła na głowie i zmieniła się w straszną Nablę-Jagę "Czuję, czuję wektorami tu pachnie".
Ale wektorów i Ko-Szi Mak-Lorena już ani śladu.

Wyprowadził Ko-Szi braci na geodezyjną, pokazał drogę do Dziwogrodu (który będziemy oznaczać przez Divgrad), a sam poszedł swoją drogą. Poszli bracia po linii geodezyjnej, a przed nimi rosły mury Divgradu, podobnie jak rośnie wykres tangensa przy argumencie dążącym do pi/2. A rozbiegały się z nich promienie złociste, tak, jak rozbieżne są sumy częściowe szeregu harmonicznego. Zaszli bracia do otwartej, (a nie domkniętej) gospody "Pod Pierwiastkiem", pogadali z karczmarką grubą Tyldą, a ona opowiedziała im o wielkim nieszczęściu, jakie nawiedziło ich gród. Książę Divgradu, wielki Tensor Holomorficzny X, dobry, kowariantny pan, wyprawił Bal Niezmienniczy z okazji 16 rocznicy urodzin swej córki, pięknej Rezolwenty. Takiego balu jeszcze nie było w jego obszarze holomorficzności. Przyjechał na bal sam książę d'Y ..., w samosprzężonej kolasce przybył graf Sinus ze swoją Sinusoidą. Wielowymiarowa muzyka delikatnie unosiła się po salach barowych, przy hiperbolicznych stolikach grali w quasipreferansa , w lożach młodzi oddawali się całkowaniu po dt. Strojna w liberie służba na każde skinienie różniczkowała gościom jadło i napitki. Przygasło nagle światło, po ścianach zatańczyły figury Lissajous, wypłoszyli się goście. A gdy znów rozbłysło światło, spostrzeżono, że Rezolwenty - krasawicy ani śladu.

Metodą sprowadzenia do niedorzeczności wykazano, że porwał ją zły czarownik Vandermonde. Dostał się on na bal naruszając warunki holomorficzności Cauchy-Riemanna i wykonując zręczne podstawienie w szeregach straży.

Mocno wryła się braciom w duszę opowieść Tyldy. I postanowili zmierzyć się ze strasznym Vandermondem i wyzwolić z jego rąk nadobną Rezolwentę. Przez szereg dni i nocy przygotowywali się do wyprawy, wreszcie powróżyli sobie z hodografu i ruszyli w drogę.

Bajka przędzie się wartko, lecz rzecz wolniej się toczy. Niełatwe warunki brzegowe zagradzały braciom drogę do sąsiedniego obszaru, najeżonego pseudowektorami, w których panowała klasowa nierówność Schwarza. Ale po obwiedni dostali się bracia do punktu rozgałęzienia, w którym tablica stoi: "Na lewo pójdziesz - współrzędne pogubisz, na prawo pójdziesz - nieskończoność zobaczysz, prosto pójdziesz - przetransportujesz się."

Zmartwili się bracia. "Co robić?", nie wiedzą. Nagle jak spod ziemi wyrasta przed nimi dobry znajomy Ko-Szi Mak-Loren.

- Znam, znam wasze zmartwienia, bracia moi. Trudna to rzecz pokonać Vandermonde'a. Jego śmierć wyznacza wyznacznik. A wyznacznik ten leży w dodekaedrze, dwie macierze w bok od cyklu Hamiltona. A dodekaedr leży w ikosaedrze. A ikosaedr jest ściśle związany z zerami funkcji meromorficznej: pierwszy węzeł zwyczajny, drugi nie ściągalny, trzeci - logarytmiczny. A funkcja ta ma osobliwość w biegunie i dostać się tam - trudna sprawa.

Leży on za 2 + 3i górami, 3 - 2i lasami, w zespolonej przestrzeni złego chana Banacha. A przy biegunie siedzi stwór-potwór o przestępnej liczbie zębów, wołają na niego Dekrement. A z drugiej strony siedzi pies Funktor, sobaka złowroga, sierść na nim jak na jeżu z m kolcami, ogon zwija się jak w lemacie o wężu, funktorów pochodnych nie ma, bo nieaddytywna bestia. Taki to wyznacznik trzeba dostać i przyrównać do zera.

Znów wskazał im Ko-Szi drogę i poszli nią bracia aż doszli do brzegu niepustego obszaru, wypełnionego cieczą nieściśliwą. Patrzą, myślą, co robić, nie wiedzą. Nagle wychyliła pyszczek z cieczy sigma-ryba, ludzkim głosem przemówiła:
- Teraz ja się wam przydam.
Przewiozła ich na drugi brzeg i wskazała dalszą drogę.

Nie zdążyli bracia przejść nawet 2 okresów, kiedy zagrodziła im drogę nieciągłość pierwszego rodzaju. Ale ktoż to przed nimi skacze? Mały parametr!

Wyście mi pomogli, a teraz ja wam pomogę - powiada.
Uderzył o ziemię, rozwinął się w szereg, zwiększył stopnie przy kolejnych wyrazach, potem raz jeszcze i jeszcze raz i przeszli bracia Ck - gładko na drugą stronę.
- A teraz idźcie po śladach operatorów prosto do bieguna - mówi.

Znaleźli w1, w2 i w3 ślady - patrzą, a rozchodzą się one na trzy strony świata. Poszli bracia każdy w swoją stronę. Szedł w1, szedł, a tu jak spod ziemi wyrosły przed nim nieprzeliczalne hordy chana Banacha, wszyscy (poza być może skończoną ilością), w formie jordanowskiej, ostrzyżeni równo niczym pod nawias Poissona.

- Ech nie ujrzę ja już swoich braci - wektorów - pomyślał w1 i rzucił się na wrogów Ale oto już bracia nadbiegli. Pokonali złego czarnoksiężnika. Psu funktorowi rzucili padlinę. Połknął Funktor jeden kęs, drugiego nie może, bo nieaddytywny. Udławiła się bestia i zdechła. A tu zatrzęsła się ziemia i, wpadła w rezonans i rozpękła się góra. Wyłazi ohydny stwór-potwór Dekrement. Nie stracili głowy bracia. Ze sznurków i lin skonstruowali za pomocą cyrkla i linijki 17-kąt foremny. Narzucili bestii na łeb, zaciągnęli. Zaplątał się potwór , przewrócił się na bok i wyzionął ducha.

Znaleźli bracia licznik i mianownik funkcji meromorficznej, wyznaczyli pierwiastki, strywializowali węzły, dobrali się do ikosaedru, wydostali dodekaedr, pobiegli po cyklu Hamiltona, otrzymali wyznacznik - i przyrównali go do zera.

Tak oto przyszedł koniec na Vandermonde'a. A przed braćmi pojawiła się Rezolwenta, cała i zdrowa.

co było do okazania

Uwaga1 Bajka napisana jest dla przypadku n=3. Posługując się metodą indukcji zupełnej Czytelnik bez trudu uogólni ją na przypadek dowolnego n>3

Uwaga2 W ogólnym przypadku w drugą stronę bajka nie pójdzie.


Bajkę tę drukował miesięcznik Delta nr 12/1983 r. Istnieje też inna /inne?/ wersja tej bajki, nieco bardziej rozbudowana...!

[keejt]

no tak ja znam troszke inna wersje