Oblicz pole trójkąta, którego dwa wierzchołki B, C są obrazami punktu A=(-2;5) odpowiednio względem osi OY i względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Odbicie symetryczne punktu względem osi OY zmienia jego pierwszą współrzędną na przeciwną, zaś odbicie względem początku układu zmienia obie jego współrzędne na przeciwne. Zatem mamy B=(2;5), C=(2,-5). Zatem mamy wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} = B-A = (4;0)}\) i \(\displaystyle{ \vec{AC} = C-A = (4;-10)}\). Teraz wystarczy już tylko skorzystać ze wzoru na pole trójkąta rozpiętego między dwoma wektorami.
Uwaga: Niestety nie pamiętam już tego wzoru i mam problemy z odnalezieniem go w źródłach
Pamiętam tylko, że był on wprowadzany w liceum przy geometrii analitycznej. Sam korzystam z innego wzoru, wprowadzonego już na studiach, mogę więc podać tylko wynik: pole tego trójkąta wynosi 20. ;]Zadanie 2
Punkty A=(-2;5), B=(4;-3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD a punkt S=(2;1) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D oraz pole tej figury.
Rozwiązanie:
Skoro S jest środkiem równoległoboku ABCD to zachodzi \(\displaystyle{ \vec{SC} = \vec{AS} = S-A=(4;-4)}\).
Stąd otrzymujemy współrzędne punktu C: \(\displaystyle{ \vec{SC} = C-S = C-(2;1) = (4;-4)}\), czyli C = (6;-3).
Teraz tylko wyznaczamy wektory \(\displaystyle{ \vec{BA} = A-B=(-6;8)}\) i \(\displaystyle{ \vec{BC} = C-B=(2;0)}\) i korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku rozpiętego między dwoma wektorami (czyli podwojone pole trójkąta).
Uwaga: Podobnie jak w zadaniu 1 podaję wynik: pole równoległoboku wynosi 16.
Zadanie 3
W trapezie ABCD ramiona mają długość 6, a kąty BAD i CBD są równe. Oblicz obwód i pole trapezu.
Rozwiązanie:
Zadanie jest koszmarnie sformułowane. Dla standardowego nazywania wierzchołków trapezu (tzn. po kolei - ABCD) zadanie nie ma sensu (takie trapezy nie istnieją). Dla nazywania wierzchołków trapezu w kolejności ACBD trapezy takie istnieją, a nawet istnieje ich nieskończenie wiele, o różnych polach i obwodach, dlatego w tym wypadku zadanie takie także jest nierozwiązywalne. Podobnie dla kolejności ABDC - istnieje nieskończenie wiele takich trapezów. Oto przykłady trapezów o różnych polach i obwodach, spełniających warunki zadania:
https://matematyka.pl/album_pic.php?pic_id=39
Zatem, w ogólności, zadania nie da się jednoznacznie rozwiązać.
Zadanie 4
Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \log_2 (x+3) -2\log_2(x-1) = -1}\)
Rozwiązanie:
Niezbędne założenia: x+3>0 i x-1>0, stąd x>1.
Korzystamy z własności działań na logarytmach.
Po pierwsze: \(\displaystyle{ a*\log_b x = \log_b x^a}\).
Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ \log_2 (x+3) - \log_2(x-1)^2 = -1}\)
Po drugie: \(\displaystyle{ \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ \log_2 \frac{x+3}{(x-1)^2} = -1}\)
Następnie przedstawiamy -1 jako \(\displaystyle{ log_2 \frac{1}{2}}\) i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \log_2 \frac{x+3}{(x-1)^2} = log_2 \frac{1}{2}}\).
Zatem, korzystając z różnowartościowości logarytmu, wystarczy obliczyć równanie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{(x-1)^2} = \frac{1}{2}}\). Mnożymy więc stronami i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2(x+3) = (x-1)^2}\)
\(\displaystyle{ 2x+6 = x^2 -2x +1}\)
\(\displaystyle{ x^2 - 4x -5 = 0}\)
Teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe:
Można policzyć deltę, lub natychmiast zauważyć, że:
\(\displaystyle{ x^2 - 4x -5 = (x-5)(x+1)}\)
Czyli rozwiązaniami są \(\displaystyle{ x_1=5}\) i \(\displaystyle{ x_2=-1}\), ale \(\displaystyle{ x_2}\) nie zgadza się z założeniami. Zatem ostatecznie mamy rozwiązanie x=5.
Zadanie 5
Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}(x-2)\geq -2}\)
Rozwiązanie:
Niezbędne założenia: x-2>0, stąd x>2.
Po pierwsze trzeba zauważyć, że podstawa logarytmu jest mniejsza od jedności \(\displaystyle{ (\frac{1}{2} < 1)}\), a co za tym idzie logarytm jest funkcją malejącą. Za chwilę odegra to istotne znaczenie.
Tymczasem zastosujmy odpowiednie podstawienia:
\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}(x-2)\geq -2}\)
\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}(x-2)\geq \log_{\frac{1}{2}}4}\)
W tym momencie musimy pamiętać o tym, że podstawa logarytmu jest mniejsza od jedności, bowiem korzystając z monotoniczności logarytmu, wystarczy że obliczymy odpowiednią nierówność dla wyrażeń logarytmowanych:
\(\displaystyle{ x-2\leq 4}\) (zmiana nierówności na przeciwną wynika właśnie z podstawy logarytmu)
Mamy więc \(\displaystyle{ x\leq 6}\), co łącząc z założeniami da nam ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ x (2;6]}\)
Zadanie 6
Narysuj wykres funkcji y=f(x) i y =g(x) a następnie znajdź współrzędne przecięcia tych wykresów.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+6}\\g(x)=\frac{x}{x+3}}\)
Rozwiązanie:
Po pierwsze wykresy:
Znany jest nam wykres funkcji \(\displaystyle{ h(x)=\frac{1}{x}}\) (hiperbola o asymptotach w osiach OY i OX). Zatem aby otrzymać wykres funkcji f(x) wystarczy przesunąć wykres h(x) o 6 w lewo. g(x) natomiast można przedstawić jako: \(\displaystyle{ g(x)=\frac{x}{x+3} = \frac{x+3-3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} + \frac{-3}{x+3} = 1 -3*\frac{1}{x+3}}\). Zatem jeśli wykres funkcji h(x) przesuniemy o 3 w lewo, następnie odbijemy symetrycznie względem osi OX, po czym "rozciągniemy" trzykrotnie i na końcu przesuniemy o 1 w górę, otrzymamy wykres funkcji g(x) ;]
Po drugie współrzędne przecięcia:
Wystarczy przyrównać funkcje do siebie: \(\displaystyle{ \frac{1}{x+6} = \frac{x}{x+3}}\)
Pamiętając, że \(\displaystyle{ x\neq -6}\) i \(\displaystyle{ x\neq -3}\) przemnażamy stronami i otrzymujemy:\(\displaystyle{ x+3 = x(x+6)}\)
czyli \(\displaystyle{ x^2 + 5x - 3 =0}\)
Wyliczamy pierwiastki równania kwadratowego i dostajemy:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{-5-\sqrt{37}}{2}\\ x_2 = \frac{-5+\sqrt{37}}{2}}\)
Teraz trzeba jeszcze tylko podstawić te wyniki do jednej z zadanych funkcji i obliczyć jej wartość. Otrzymamy ostatecznie punkty: \(\displaystyle{ (x_1,y_1)=(\frac{-5-\sqrt{37}}{2},\frac{2}{7-\sqrt{37}})\\(x_2,y_2) = (\frac{-5+\sqrt{37}}{2},\frac{2}{7+\sqrt{37}})}\)
Zadanie 7
Oblicz pole zakreskowanej figury ;J
https://matematyka.pl/album_pic.php?pic_id=37
Rozwiązanie:
Zadanie to tak właściwie jest nierozwiązywalne, bo mamy za mało danych (nie znamy długości żadnej z podstaw małego trapezu - mogą one być rozmaite). Zakładam jednak, że w zadaniu chodzi o to, że mały trapez jest podobny do dużego. Stosunki odpowiednich boków są więc w nim takie same. Wprowadziłem dodatkowe oznaczenia i wówczas mam:
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|EG|}{|GF|}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{5}{6} = \frac{2}{|GF|}}\). Stąd \(\displaystyle{ |GF| = \frac{12}{5}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|EG|}{|EB|}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{5}{8} = \frac{2}{|EB|}}\). Stąd \(\displaystyle{ |EB| = \frac{16}{5}}\)
Pole zamalowanej figury to pole dużego trapezu (ABCD) pomniejszone o pole małego trapezu (EBFG). Zatem korzystając ze wzoru na pole trapezu (suma podstaw * wysokość/2) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P=\frac{(6+8)*5}{2} - \frac{12+16}{5}*\frac{2}{2} = 35 - 5\frac{3}{5} = 29\frac{2}{5}}\)
Edit by Arbooz: Po3bny mi ten temat na kilka dni, plz nie ruszać