Czesc,
Mam zagadke matematyczna od profersora z wykladu.
Jest nieskonczona kolekcja liczb: 1,11,111,1111,11111,.... i tak dalej....
podzielne przez 199
Nie wiem, czy zrozumialem pytanie do konca poprawnie.
On twierdzi, ze jest nieskonczenie wiele podzielnych przez 199.
Czy ktos spotkal sie z podobnym problemem, czy moze ja cos zle zrozumialem?
Czy ktos moze mi to wytlumaczyc?
Z gory dzieki za wszelka pomoc.
Pozdrowienia
Lex
matematyczna zagadka z liczba 199
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
matematyczna zagadka z liczba 199
Jeśli chodzi Ci o to, czy w ciągu liczb postaci 1, 11, 111... jest nieskończenie wiele liczb podzielnych przez 199, to odpowiedź brzmi tak.
Nawet więcej - dla dowolnej liczby pierwszej p (różnej oczywiście od 2 i 5) w podanym ciągu istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez p.
Szkic dowodu: n-ty element tego ciągu można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{10^n-1}{9}}\) (jako sumę ciągu geometrycznego o ilorazie 10). Wystarczy więc pokazać, że \(\displaystyle{ 10^n\equiv_p 1}\) dla nieskończenie wielu n. Z Małego Twierdzenia Fermata wynika, że dla liczby pierwszej p różnej od 2 i 5 mamy \(\displaystyle{ 10^{p-1}\equiv_p 1}\), a więc również \(\displaystyle{ (10^{p-1})^k\equiv_p 1}\) dla dowolnego naturalnego k.
Pozdrawiam.
Nawet więcej - dla dowolnej liczby pierwszej p (różnej oczywiście od 2 i 5) w podanym ciągu istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez p.
Szkic dowodu: n-ty element tego ciągu można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \frac{10^n-1}{9}}\) (jako sumę ciągu geometrycznego o ilorazie 10). Wystarczy więc pokazać, że \(\displaystyle{ 10^n\equiv_p 1}\) dla nieskończenie wielu n. Z Małego Twierdzenia Fermata wynika, że dla liczby pierwszej p różnej od 2 i 5 mamy \(\displaystyle{ 10^{p-1}\equiv_p 1}\), a więc również \(\displaystyle{ (10^{p-1})^k\equiv_p 1}\) dla dowolnego naturalnego k.
Pozdrawiam.