Arytmetyka granic

[Dasio11]

Można też zacytować kilka poprzednich postów, by zobaczyć, że mowa była o przykładzie z symbolami nieoznaczonymi, przy których owe zasady nie obowiązują i zaiste, trzeba przejść do granicy w jednym miejscu. Ściślej mówiąc, została wyprowadzona granica wewnątrz granicy, co nie zawsze da poprawny wynik, czego ładne przykłady podał miodzio1988

Prosiłem o przykład bez symboli nieoznaczonych, na co miodzio1988 podawał uparcie przykłady z takimi symbolami. Były bzdurne, bo sam wyraźnie i kilka razy pisałem, o jakie przykłady mi chodzi. Chyba tylko do jednej osoby to dotarło i słusznie stwierdziła, że takich przykładów nie ma. Nie dało się tak od razu?

Aha, czyli teraz zamiast o tym, kto rozumował błędnie, będziemy dyskutowali, co się dało, a co się nie dało... Super.

Owszem, nie jest ono prawdziwe dla omówionych wcześniej sytuacji.

Ale jeśli sytuacja spełnia założenia, twierdzenie jest prawdziwe. miodzio1988 twierdził, że nie jest prawdziwe nigdy, a ja prosiłem o przykłady bez symboli nieoznaczonych, które to potwierdzą.

Możesz tutaj pokazać cytat, z którego wynika, że miodzio1988 twierdził, że nie jest prawdziwe nigdy?

To jest próba pokazania, że te twierdzenia nie działają, jeżeli mamy do czynienia z nieskończonością.

Tak? Głupkowate pytanie, "dlaczego nie mogę powtórzyć tego nieskończoną liczbę razy?" to jest próba pokazania że nie działają?

Chyba zapominasz, że miodzio1988, poprzez "głupkowate pytania" próbuje pokazać absurd, a nie przekonać do tego, że takie działanie jest dozwolone.

Autor wylicza, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \left(\lim_{n \to \infty } n \right)=0}\) , co jest prawdziwe dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), a więc i dla nieskończoności.
Oczywiście działania, które doprowadziły do takiego stanu to bzdura, i pokazanie tej bzdurności było celem napisania przykładu.

Z prawdziwości dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nie wynika prawdziwość dla nieskończoności. A bzdurność i niezrozumienie zostały zademonstrowane w stu procentach.

No to podstaw do tego równania: \(\displaystyle{ 0 \cdot n=?}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ n=1000}\)
\(\displaystyle{ n=1000000}\)
\(\displaystyle{ n=10^{100} \ldots}\)

I na tej podstawie policz granicę...

Na wszelki wypadek przypomnę, że już wyprowadziliśmy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0}\), więc to nie jest już \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n\to\infty} n}\), tylko \(\displaystyle{ 0 \cdot \lim_{n\to\infty} n}\)

Nasz bohater już to wie i dziwi się, jak jego rozmówca może tego nie wiedzieć.

Bohater załamał się na moje oświadczenie, że \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) generuje symbol nieoznaczony, więc dziwi go raczej, że rozmówca to wie. Tylko dlaczego się załamał?

Nie czytasz uważnie. Może zacytuję...

[...]
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{sinx}{x} =1}\) \<----tu nie ma gwiazdki
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{0}{x} =*}\)

* też mamy Twoim zdaniem symbol nieoznaczony?

Jak widać, kolega miodzio1988 miał troszkę co innego na myśli...

[dramacik]

Aha, czyli teraz zamiast o tym, kto rozumował błędnie, będziemy dyskutowali, co się dało, a co się nie dało... Super.

Tego całkiem nie rozumiem. Co tu chcesz powiedzieć? Zajrzyj do tamtego tematu i zobacz, że miodzio1988 twierdził, że stosowanie (1) w przypadku istniejących i skończonych granic jest błędne - patrz reakcja na post Inkwizytora.

Możesz tutaj pokazać cytat, z którego wynika, że miodzio1988 twierdził, że nie jest prawdziwe nigdy?

Może nie nigdy, ale twierdził, że nie jest prawdziwe dla skończonych granic, patrz reakcja na post mój i Inkwizytora.

Chyba zapominasz, że miodzio1988, poprzez "głupkowate pytania" próbuje pokazać absurd, a nie przekonać do tego, że takie działanie jest dozwolone.

Dobra, następnym razem jak usłyszę głupkowate pytania, spróbuję pomyśleć, że ich autor tylko udaje kretyna.

No to podstaw do tego równania: \(\displaystyle{ 0 \cdot n=?}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ n=1000}\)
\(\displaystyle{ n=1000000}\)
\(\displaystyle{ n=10^{100} \ldots}\)

I na tej podstawie policz granicę...

Na wszelki wypadek przypomnę, że już wyprowadziliśmy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0}\), więc to nie jest już \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n\to\infty} n}\), tylko \(\displaystyle{ 0 \cdot \lim_{n\to\infty} n}\)

\(\displaystyle{ 0 \cdot \lim_{n\to\infty} n=0\cdot\infty}\). Tego już nie będę komentować, mam dość powtarzania tego tekstu o wyrażeniach nieoznaczonych.

Jak widać, kolega miodzio1988 miał troszkę co innego na myśli...

Jak dla mnie dwie równości napisane jedna pod drugą to ilustracja toku rozumowania, więc uznałem że zero w liczniku pochodzi z sinusa. Jeśli to błąd, można to wyjaśnić bez wołania do matki boskiej i popadania w depresję.

[czeslaw]

Dobry dział, poza tym moglibyście skończyć już te wynurzenia, nie sądzicie że zakrawają o herezje?

Do tematu pasowałoby:
\(\displaystyle{ n \cdot n \rightarrow \infty ^{2} > \infty}\)

Początek tematu zrobił mi wodę z mózgu, nie śmigam w tym na tyle, żeby oddzielić z miejsca bzdury od wartościowych informacji. Podejrzewam, że nie tylko ja.

[Rogal]

Pozwoliłem sobie zajrzeć do oryginalnego tematu i wszystkim to polecam zainteresowanym.
Co tam widzimy? Że raz kolega dramacik postępuje nielogicznie, na co zwraca mu uwagę kolega miodzio1988, a następnie analogicznie źle postępuje kolega Inkwizytor, na co reaguje słusznie kolega bedbet.
Po tym wstępie teraz pragnę zadać pytanie koledze dramacikowi, który czegoś broni i już nie bardzo wiem, czego. Mianowicie - z jakich twierdzeń o granicach wynika, że to co uczyniliście (wspomniane przeze mnie niedozwolone przejścia) są okej? Chciałbym sprowadzić tę dyskusję na jej pouczający i merytoryczny fragment, więc proszę mnie nie zignorować, bo temat wyleci w Kosmos.

[Dasio11]

Aha, czyli teraz zamiast o tym, kto rozumował błędnie, będziemy dyskutowali, co się dało, a co się nie dało... Super.

Tego całkiem nie rozumiem. Co tu chcesz powiedzieć? Zajrzyj do tamtego tematu i zobacz, że miodzio1988 twierdził, że stosowanie (1) w przypadku istniejących i skończonych granic jest błędne - patrz reakcja na post Inkwizytora.

Możesz tutaj pokazać cytat, z którego wynika, że miodzio1988 twierdził, że nie jest prawdziwe nigdy?

Może nie nigdy, ale twierdził, że nie jest prawdziwe dla skończonych granic, patrz reakcja na post mój i Inkwizytora.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2-2}\right)^2=
\lim_{n\to\infty} \left(e\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)

Czy to wg Ciebie jest skończona granica?

Chyba zapominasz, że miodzio1988, poprzez "głupkowate pytania" próbuje pokazać absurd, a nie przekonać do tego, że takie działanie jest dozwolone.

Dobra, następnym razem jak usłyszę głupkowate pytania, spróbuję pomyśleć, że ich autor tylko udaje kretyna.

Nie mam pomysłu, jak na to odpowiedzieć... Ale to na szczęście nie wymaga komentarza, wystarczy to, co napisałeś...

No to podstaw do tego równania: \(\displaystyle{ 0 \cdot n=?}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ n=1000}\)
\(\displaystyle{ n=1000000}\)
\(\displaystyle{ n=10^{100} \ldots}\)

I na tej podstawie policz granicę...

Na wszelki wypadek przypomnę, że już wyprowadziliśmy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0}\), więc to nie jest już \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n\to\infty} n}\), tylko \(\displaystyle{ 0 \cdot \lim_{n\to\infty} n}\)

\(\displaystyle{ 0 \cdot \lim_{n\to\infty} n=0\cdot\infty}\). Tego już nie będę komentować, mam dość powtarzania tego tekstu o wyrażeniach nieoznaczonych.

A przykłady zrobiłeś? :] Ale jeśli chcesz skrócić listę naszych sprzeczek, nie będę oponował.

Jak widać, kolega miodzio1988 miał troszkę co innego na myśli...

Jak dla mnie dwie równości napisane jedna pod drugą to ilustracja toku rozumowania, więc uznałem że zero w liczniku pochodzi z sinusa. Jeśli to błąd, można to wyjaśnić bez wołania do matki boskiej i popadania w depresję.

Zero w liczniku pochodzi od obliczenia granicy z sinusa przy \(\displaystyle{ x \to 0}\), przez co wyżej wymienione wyrażenie przestaje być nieoznaczone i wychodzi błędny wynik - o to, do czego doprowadza stosowanie "arytmetyki granic" przy granicach będących symbolam nieoznaczonymi... Ale to już sobie wyjaśniliśmy. Co do ostatniego zdania w Twojej wypowiedzi - owszem. Można też w ogóle nic nie pisać. Można wstać od komputera i przebiec 15 kilometrów, aby polepszyć swoją kondycję fizyczną. Ale przecież nie o tym jest dyskusja, co można a co nie, tylko o tym, co jest błędem a co jest poprawne - od tego się zaczęło. To forum matematyczne, a nie wychowawcze.
O, widzę, że kolega Rogal myśli o tym samym - o problemach związanych z matematyką :]
jeeee, mamy moda po swojej stronie :]

[dramacik]

Mianowicie - z jakich twierdzeń o granicach wynika, że to co uczyniliście (wspomniane przeze mnie niedozwolone przejścia) są okej? Chciałbym sprowadzić tę dyskusję na jej pouczający i merytoryczny fragment, więc proszę mnie nie zignorować, bo temat wyleci w Kosmos.

Powtórzę to co zrobiłem w zwolnionym tempie:
\(\displaystyle{ \ldots=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2-2}\right)^2=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2}\right)^2
\left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)
Teraz twierdzenie o przekształceniu granicy iloczynu w iloczyn granic, cały czas pamiętając, że jeśli później wyjdzie wyrażenie nieoznaczone, trzeba się cofnąć do tego punktu.

\(\displaystyle{ \ldots=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2}\right)^2\cdot
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)

Teraz lewy nawias - twierdzenie o przekształcaniu granicy potęgi w potęgę granicy
\(\displaystyle{ \ldots=
\left( \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2}\right)^2\cdot
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)

Teraz definicja liczby \(\displaystyle{ e}\) (wraz z twierdzeniem o granicy podciągu ciągu zbieżnego)
\(\displaystyle{ \ldots=e^2\cdot
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)

I teraz twierdzenie o włączaniu niezerowej stałej pod symbol granicy (oraz o rozdzielności mnożenia względem potęgowania)
\(\displaystyle{ \ldots=
\lim_{n\to\infty} \left(e\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2}\)

Można komentować konkretne przejścia.

Teraz pan Inkwizytor

\(\displaystyle{ \ldots=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{(3n+2) \cdot \frac{6n}{3n+2} }=
\lim_{n\to\infty} e^{\frac{6n}{3n+2} }=\ldots}\)

Tylko to przejście było wyklinane. To jest oczywiście twierdzenie, że o ile granice ciągów \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) istnieją i, powiedzmy, są skończone, to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n^{b_n}=(\lim_{ n\to\infty } a_n)^{\lim_{ n\to\infty } b_n}}\)

[Dasio11]

Chodziło właśnie o tę rozpiskę, aby nie liczyć granicy połowy wyrażenia pod \(\displaystyle{ \lim}\)'em, tylko najpierw to rozbić. Skróty można stosować, gdy założy się, że ma się do czynienia z biegłymi matematykami - a przecież takimi nie muszą być odwiedzający to forum po to, by o coś zapytać.

[max]

Jejku, że też Wam się tak chce.
Ale skoro Wam się chce, to spróbuję Was zrozumieć.

Streśćmy więc co się stało.
Dramacik w temacie: https://matematyka.pl/134921.htm wykorzystał, nie wspomniawszy odpowiednim twierdzeniu i nie zaznaczywszy, że założenia są spełnione w sposób wolny, który to sposób zrodził pewne podejrzenia, więc cała reszta przystąpiła do strofowania i uświadamiania, że wypadałoby parę rzeczy uściślić.
W międzyczasie rozrósł się konflikt, w wyniku którego strona strofująca nie przestała strofować i zaczęła sprawiać wrażenie, jakoby twierdziła, iż adwersarz kompletnie nie ma pojęcia o czym mówi.
Natomiast druga strona obstaje przy tym, że to czego nie napisała jest oczywiste i nie wymaga komentarza, przy okazji również nie stroniąc od okazywania swego zniecierpliwienia.

Teraz więc, po zapisaniu całkiem niemałej liczby wiadomości, które absolutnie nie ruszyły sporu do przodu (poza ostatnimi kilkoma postami, które powstały już po tym jak postanowiłem coś napisać <edit: nie chodzi mi o to, że ja te posty napisałem, lecz o to, że kiedy zaczynałem pisać tę wiadomość, to jeszcze ich nie było/edit>), a zaogniły konflikt, spróbujmy wrócić do genezy problemu, kiedy to jeszcze wszyscy zachowywali spokój i dobre zdanie o drugiej stronie.

Z twierdzenia o granicy podciągu ciągu zbieżnego i jednej z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3n+3}{3n+2}\right)^{6n}=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(\frac{3n+2+1}{3n+2}\right)^{3n}\right)^2=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2-2}\right)^2=
\lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{3n+2-2}\right)^2=
\lim_{n\to\infty} \left(e\left(1+\frac{1}{3n+2}\right)^{-2}\right)^2=e^2}\)

Strona krytykująca zdaje się ma zastrzeżenie, co do przedostatniej równości.
Prawdą jest, że nie jest to jasne na pierwszy rzut oka, że korzystamy z odpowiedniego twierdzenia
(dla osoby nie obeznanej z tematem jest to najprawdopodobniej niemożliwe, gdyż przejście
\(\displaystyle{ \lim a_{n}b_{n} = (\lim a_{n})\cdot (\lim b_{n})}\)
nie zostało wykonane w ten sposób, a zapis sugeruje, że nie wiedząc jeszcze czy odpowiedni ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) ma granicę spełniającą założenia policzyliśmy \(\displaystyle{ \lim a_{n}}\) i wsadziliśmy to nie do końca wiadomo po co pod drugiego limesa, skoro fakt, że korzystamy tu z odpowiedniego twierdzenia oznacza, że znamy już jego wartość) i może skutkować wyrobieniem złych nawyków u osoby, która dopiero uczy się liczenia granic.
Stąd oburzenie krytykujących.
Ponadto prawdą jest, że na 'wstępie do analizy' takie same uwagi jak te padające ze strony podważającej wartość tego rozwiązania można usłyszeć od prowadzącego ćwiczenia, jeśli granice liczy się w ten sposób.

Nieprawdą jest, że całe rozumowanie jest bez sensu, należy po prostu uzupełnić je o dokładny komentarz, ewentualnie przeformułować tak, aby nie budziło w czytającym wątpliwości o złych nawykach piszącego. W przypadku ludzi wiedzących o co chodzi jest to zbędne, w przypadku ludzi mających wątpliwości a także poznających dopiero zagadnienie należałoby o tym, dla ich dobra, jednak pamiętać (czy ktoś pamięta jeszcze biednego autora tematu, który wywołał tak wielkie poruszenie?).

No i tyle, nie wiem co jeszcze można tu powiedzieć sensownego, dlatego dziwi mnie, że ta dyskusja trwa już cały dzień. W sumie rozumiem Wasze zniecierpliwienie, też bym w końcu nie mógł się doczekać kiedy wreszcie to się skończy.

Temat zamykam, bo już chyba więcej nie można napisać.
Jak ktoś chce odblokować z jakiejś istotnej przyczyny, to niech prześle pw z uzasadnieniem.

Pozdrawiam i życzę w przyszłości jak najmniej takich sporów.