Arytmetyka granic

[dramacik]

Małe wprowadzenie do tematu. Oto kilka twierdzeń arytmetyki granic:

(1) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n^{b_n}=(\lim_{ n\to\infty } a_n)^{\lim_{ n\to\infty } b_n}}\)

(2) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n\cdot b_n=(\lim_{ n\to\infty } a_n)(\lim_{n\to\infty} b_n)}\)

(3) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } C a_n=C \lim_{ n\to\infty } a_n}\)

(4) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n^C=(\lim_{ n\to\infty } a_n)^C}\)

Kilka osób na tym forum próbuje dowieść fałszywości niektórych z nich, np. (1) i (3).
Ponadto zostało stwierdzone, że gdy mamy

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } a_n=A}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } b_n=B}\)

to nie zawsze prawdziwe jest stwierdzenie, że
\(\displaystyle{ AB\cdotB=B\cdot\lim_{ n\to\infty } a_n=A\cdot\lim_{ n\to\infty } b_n}\)

Dyskusja podczepiona pod inne wątki skończyła się na moim pytaniu o przykłady na błędność tego rozumowania, które nie zawierają ukrytych założeń, że \(\displaystyle{ \frac{0}{0}=0}\), \(\displaystyle{ 1^\infty=1}\) i podobnych.

[scyth]

\(\displaystyle{ e=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ne \left[ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right) \right]^{\left( \lim_{n \to \infty} n \right)} = 1^{\infty} = 1}\)

Chyba, że zapomniałeś o jakichś założeniach (np. że granice cząstkowe istnieją i są skończone/niezerowe).

[czeslaw]

A to te wzory nie są prawdziwe? Oczywiście wtedy, gdy nie zakładamy, że \(\displaystyle{ 1^{\infty} = 1}\) czy inne takie kwiatki...

[scyth]

Te inne kwiatki są bardzo ważne - o to właśnie się rozchodzi.

[czeslaw]

Nie rozumiem. Jeśli nie założymy, że w danym kontrprzykładzie \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}] = 0}\), to chyba nie można (ani nie jest celowe) obalanie tych wzorów?
Ok, odszukałem temat, o który chodziło autorowi prawdopodobnie - po prostu miodzio robi wodę z mózgu. Już rozumiem o co chodzi w temacie.

[scyth]

Gdy zachodzą warunki:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = A \\
\lim_{n \to \infty} b_n = B \\
\lim_{n \to \infty} c_n = C \\
\ldots}\)
i te granice są skończone (i różne od zera - w zależności od postaci granicy, którą chcemy liczyć), to działania na granicach są takie, jak działania na liczbach, np. zachodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^{b_n}}{c_n} = \frac{A^B}{C}}\)
o ile \(\displaystyle{ C \ne 0}\).

[czeslaw]

Rozumiem już. A jeśli nie są, to możemy obalić sobie arytmetykę granic, przykład z tym ciągiem Eulera. Dzięki za wyjaśnienie.

[Dasio11]

Nie możemy jej obalić, tylko nie stosować w przypadkach z nieskończonymi / zerowymi granicami :]

[czeslaw]

Kilka osób na tym forum próbuje dowieść fałszywości niektórych z nich, np. (1) i (3).

Może rzeczywiście powinienem słowo "obalić" zamknąć w cudzysłów.

[dramacik]

Założenia mówią tyle, że napisy po obu stronach mają sens. Nie muszą być wcale skończone, ani nawet istnieć, vide:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0\cdot\lim_{n\to\infty}\sin n=0}\)

albo

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\cdot n=\infty\cdot\lim_{n\to\infty} n=\infty\cdot\infty=\infty}\)

To co chcę powiedzieć, to że posiadając minimum wyczucia i będąc czujnym na wyrażenia nieoznaczone, można bezbłędnie stosować wszystkie wypisane przeze mnie reguły.

[edit]
Zjadłem sinusa w pierwszym wyrażeniu.

[scyth]

dramacik, dlaczego się upierasz skoro nie masz racji? Przykłady, które podajesz, są przecież ok - w pierwszym można to zrobić choćby z trzech ciągów - liczba (+/- 1) przez nieskończoność to zero. Drugi przykład - nieskończoność razy nieskończoność to nieskończoność, brawo.
Zamiast wyczucia są zasady - co z Twoim wyczuciem będzie, jeśli w drugim twoim przykładzie napiszę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\cdot n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n \cdot n\cdot n = 0 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot n \cdot n}\)
Nie mogę tak zrobić? Dlaczego nie?

[dramacik]

Jezu, przecież mówię że ma nie być ukrytych wyrażeń w stylu \(\displaystyle{ 0\cdot\infty}\), a w twoim przykładzie będzie właśnie

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\cdot n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n \cdot n\cdot n = 0 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot n \cdot n=0\cdot\infty}\)

Przykłady, które podajesz, są przecież ok

Noi właśnie po to były, żeby pokazać że jest ok. Słowo "vide" oznacza "patrz". To były przykłady, że granice wcale nie muszą istnieć, ani być skończone, żeby dało się stosować arytmetykę granic.

[edit]
Co jest z wami? Ja mówię poważnie, proszę bez przykładów z wyrażeniami nieoznaczonymi i bez udawania głupka.

[Starling]

Mnie przekonują argumenty miodzia i scytha. Nie zawsze na pierwszy rzut oka widać czy w drugim ciągu nie wyjdzie granica niewłaściwa.

[argv]

Dramacik wez sobie pierwsza lepsza ksiazke do analizy (ja biore Gewerta i Skoczylasa) i jest

Twierdzenia o granicach wlasciwych ciagow:
Twierdzenie 1.3.2 (o arytmetyce granic ciagow):
Jesli ciagi an i bn sa WŁAŚCIWE to ... (tu to co wkleiłeś) + odpowiednie założenia

Jeśli chociaż jedna z granic jest niewłaściwa to koniec zabawy twierdzenia nie możemy stosować, a to że czasem coś wyjdzie to przypadek

[scyth]

Założenia mówią tyle, że napisy po obu stronach mają sens.

I to są bradzo nieprecyzyjne założenia - chyba o to się w tym temacie rozchodzi. Bo w zasadzie możesz też powiedzieć - wtedy, kiedy spełnione są poniższe równości, to te równości zachodzą.