Ekonomia matematyczna - funkcja produkcji

[tomek19971203]

Dana jest funkcja produkcji:
\(\displaystyle{ \hat{Q}= 0,28 \cdot X_1 (0,35) \cdot X_2 (0,67)}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ Q}\) – wielkość produkcji (tys. szt.),
\(\displaystyle{ X_1}\) – liczba maszyn (szt.),
\(\displaystyle{ X_2}\) – zatrudnienie w osobach.
1. Zinterpretować parametry modelu.
2. Zbadać efekt skali produkcji.
3. Ile będzie wynosiła wielkość produkcji w roku przyszłym, jeżeli w roku obecnym wynosi
ona \(\displaystyle{ 10}\) tys. sztuk przy wzroście liczby maszyn z \(\displaystyle{ 3}\) do \(\displaystyle{ 5}\) i wzroście zatrudnienia o \(\displaystyle{ 15\%}\).

Proszę o rozwiązanie

[a4karo]

Nie, możesz dostać co najwyżej wskazówki.
Wylicz poziom zatrudnienia korzystając z danych w pkt 3.
A potem myśl - to jest coś co na studiach musisz robić sam.

[janusz47]

Funkcja wielkości produkcji

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X_{1}, X_{2}) = 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67) }\)

(a)
Funkcja ta przedstawia zależność wielkości produkcji \hat{Q} od nakładów na czynniki produkcji.

Czynnikami - parametrami funkcji w tym modelu sa:

\(\displaystyle{ X_{1} }\) - ilości maszyn w sztukach,

\(\displaystyle{ X_{2} }\) - zatrudnienie w ilości osób.

(b)
Efekt skali produkcji

Zwiększając albo zmniejszając proporcjonalnie czynniki produkcji:

\(\displaystyle{ X'_{1}= h\cdot X_{1}, \ \ X'_{2} = h\cdot X_{2}, \ \ h>0 }\)

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X'_{1}, X'_{2}) = 0,28\cdot (h\cdot X_{1}) (0,35)\cdot (h\cdot X_{2})(0,67) = 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot h(0,35)\cdot X_{2}(0,67)\cdot h(0,67)= }\)

\(\displaystyle{ = 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67) \cdot h^2(0,35\cdot 0,67) }\)


\(\displaystyle{ \frac{ \hat{Q}(X'_{1},X'_{2})}{\hat{Q}(X_{1},X_{2})} =\frac{0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67) \cdot h^2(0,35\cdot 0,67)}{ 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67)} = 0,35\cdot 0,67 \cdot h^2 = 0,2345 h^2 < h }\)

Opłaca się zwiększyć nakłady na produkcję.

Zwykle w Ekonomii (Ekonometrii) analizuje się funkcję produkcji - Cobba-Douglasa w postaci:

\(\displaystyle{ \hat{Q} = 0,28\cdot X^{0,35}_{1}\cdot X^{0,67} }\)

i wtedy efekt skali produkcji

\(\displaystyle{ \frac{ \hat{Q}(X'_{1},X'_{2})}{\hat{Q}(X_{1},X_{2})} =\frac{0,28\cdot X^{0,35}_{1}\cdot X^{0,67}_{2} \cdot h^(0,35+ 0,67)}{ 0,28\cdot X^{0.35}_{1}\cdot X^{0,67}_{2}} = h^{0,35+0,67} = h^{1,02}> h }\)

Opłaca się nieznacznie zwiększyć nakłady na produkcję.

[a4karo]

Czy `X_1(0,35)` oznacza coś innego niż mnożenie `0.35` przez `X_1`?

Bo jeżeli to jest to samo, to poprzedni post zawiera karygodne błędy rachunkowe i logiczne

[janusz47]

Proszę nie panikować.

Funkcja wielkości produkcji

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X_{1}, X_{2}) = 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67) }\)

(a)
Funkcja ta przedstawia zależność wielkości produkcji \hat{Q} od nakładów na czynniki produkcji.

Czynnikami - parametrami funkcji w tym modelu sa:

\(\displaystyle{ X_{1} }\) - ilości maszyn w sztukach,

\(\displaystyle{ X_{2} }\) - zatrudnienie w ilości osób.

(b)
Efekt skali produkcji

Zwiększając albo zmniejszając proporcjonalnie czynniki produkcji:

\(\displaystyle{ X'_{1}= h\cdot X_{1}, \ \ X'_{2} = h\cdot X_{2}, \ \ h>0 }\)

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X'_{1}, X'_{2}) = 0,28\cdot (h\cdot X_{1}) (0,35)\cdot (h\cdot X_{2})(0,67) = 0,28\cdot X_{1}\cdot h\cdot (0,35)\cdot X_{2}\cdot h(0,67)= }\)

\(\displaystyle{ = 0,28\cdot X_{1}\cdot X_{2} \cdot h^2(0,35\cdot 0,67) }\)


\(\displaystyle{ \frac{ \hat{Q}(X'_{1},X'_{2})}{\hat{Q}(X_{1},X_{2})} =\frac{0,28\cdot X_{1}\cdot X_{2} \cdot h^2(0,35\cdot 0,67)}{ 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67)} = h^2 > h }\)

Opłaca się zwiększyć nakłady na produkcję gdy \(\displaystyle{ 0<h <1 }\) i zmiejszyć produkcję dla \(\displaystyle{ h > 1.}\)

Zwykle w Ekonomii (Ekonometrii) analizuje się funkcję produkcji - Cobba-Douglasa w postaci:

\(\displaystyle{ \hat{Q} = 0,28\cdot X^{0,35}_{1}\cdot X^{0,67} }\)

i wtedy efekt skali produkcji

\(\displaystyle{ \frac{ \hat{Q}(X'_{1},X'_{2})}{\hat{Q}(X_{1},X_{2})} =\frac{0,28\cdot X^{0,35}_{1}\cdot X^{0,67}_{2} \cdot h^(0,35+ 0,67)}{ 0,28\cdot X^{0.35}_{1}\cdot X^{0,67}_{2}} = h^{0,35+0,67} = h^{1,02}> h }\)

Opłaca się nieznacznie zwiększyć nakłady na produkcję.

[a4karo]

Proszę nie panikować.

Ależ ja nie panikuję, tylko ostrzegam czytelników przez niekompetentnymi podpowiadaczami

Funkcja wielkości produkcji

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X_{1}, X_{2}) = 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67) }\)

(a)
Funkcja ta przedstawia zależność wielkości produkcji \hat{Q} od nakładów na czynniki produkcji.

Czynnikami - parametrami funkcji w tym modelu sa:

\(\displaystyle{ X_{1} }\) - ilości maszyn w sztukach,

\(\displaystyle{ X_{2} }\) - zatrudnienie w ilości osób.

(b)
Efekt skali produkcji

Zwiększając albo zmniejszając proporcjonalnie czynniki produkcji:

\(\displaystyle{ X'_{1}= h\cdot X_{1}, \ \ X'_{2} = h\cdot X_{2}, \ \ h>0 }\)

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ \hat{Q}(X'_{1}, X'_{2}) = 0,28\cdot (h\cdot X_{1}) (0,35)\cdot (h\cdot X_{2})(0,67) = 0,28\cdot X_{1}\cdot h\cdot (0,35)\cdot X_{2}\cdot h(0,67)= }\)

\(\displaystyle{ = 0,28\cdot X_{1}\cdot X_{2} \cdot h^2(0,35\cdot 0,67) }\)


\(\displaystyle{ \frac{ \hat{Q}(X'_{1},X'_{2})}{\hat{Q}(X_{1},X_{2})} =\frac{0,28\cdot X_{1}\cdot X_{2} \cdot h^2(0,35\cdot 0,67)}{ 0,28\cdot X_{1}(0,35)\cdot X_{2}(0,67)} = \red{ h^2 > h} }\)

Potrafisz jakoś uzasadnić tę nierówność

Opłaca się zwiększyć nakłady na produkcję dla \(\displaystyle{ 0<h <1 }\) i zmiejszyć produkcję dla \(\displaystyle{ h > 1.}\)

Tam miało chyba być nie zmniejszyć produkcję, lecz zmniejszyć nakłady na produkcję (to dwie istotnie różne sprawy)


Ne wiem, czy przeczytałeś to, co napisałeś, ale `0<h<1` oznacza zmniejszenie nakładów, a `h>1` zwiększenie nakładów