Wielkość produkcji optymalnej ze względu na koszt przeciętny

[kiko1]

Witam,

Potrzebuję pomocy z następującym zadaniem:

Koszt całkowity \(\displaystyle{ K}\) jest następującą funkcją wielkości produkcji \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ K(x) =x^3 − x \ln(2x)}\)

Wyznacz wielkość produkcji optymalną ze względu na koszt przeciętny (jednostkowy)\(\displaystyle{ K_{p}}\).


Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Funkcja kosztu całkowitego

\(\displaystyle{ TC = K(x) = x^3 - x\ln(2x) }\)

Funkcja kosztu przeciętnego

\(\displaystyle{ AV= \frac{K(x)}{x} = x^2 - \ln(2x) }\)

Funkcja kosztu marginalnego

\(\displaystyle{ MR = K'(x) = 3x^2 - \ln(2x) - \frac{x\cdot 2}{x} = 3x^2 - \ln(2x) -2 }\)

\(\displaystyle{ MR =AV \rightarrow x^2 -\ln(2x) = 3x^2 -\ln(2x) -2 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2x^2 -2 = 0 \rightarrow x^{*} = 1.}\)

[a4karo]

`K'(x)=...`

[janusz47]

\(\displaystyle{ K'(x) = 3x^2 - \ln(2x) - \frac{x}{2x} = 3x^2 -\ln(2x) -\frac{1}{2} }\)


\(\displaystyle{ MR =AV \rightarrow x^2 -\ln(2x) = 3x^2 -\ln(2x) - \frac{1}{2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ 2x^2 -\frac{1}{2} = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^{*} = \frac{1}{2}. }\)

Dziękuję.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ K'(x) = 3x^2 - \ln(2x) - \frac{x}{2x} = 3x^2 -\ln(2x) -\frac{1}{2} }\)

Chyba jednak

\(\displaystyle{ K'(x) = 3x^2 - \ln(2x) -\,\red{ x\cdot\frac{2}{2x}} = 3x^2 -\ln(2x) -\,\red{1} }\)

JK

[janusz47]

Tak!

Stąd

\(\displaystyle{ 2x^2 - 1 = 0, }\)

\(\displaystyle{ x^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}}.}\)

Dziękuję.