Rozkład statystyk z próby

[Werix97]

Witam
Mam problem z tym zadaniem :
Rozkład płac pracowników w firmie A jest normalny z wartością μ=2 tys. zł. Wybrano losowo 25 pracowników. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest większa od 1,8 tys. zł, jeśli wariancja płacy pracowników firmy A jest równa σ^2=1,44.
Może mi ktoś pomóc z tym zadaniem, dziękuje.

[janusz47]

Rozkład płac pracowników w firmie \(\displaystyle{ A }\) jest normalny z wartością \(\displaystyle{ μ = 2\ \ tys. }\) zł. Wybrano losowo \(\displaystyle{ 25 }\) pracowników.
Proszę obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych pracowników jest większa od \(\displaystyle{ 1,8 tys.}\) zł, jeśli wariancja płacy pracowników firmy \(\displaystyle{ A }\) jest równa \(\displaystyle{ σ^2 = 1,44.}\)

Zakładamy, że zmienne losowe płacy \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i =1,2,3... }\) pracowników firmy \(\displaystyle{ A }\) są niezależne i mają rozkład \(\displaystyle{ X_{i} \sim \mathcal{N}( 2tys.zl, 1,2 tys.zl), \ \ i = 1,2, 3,... }\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ \overline{Y} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_{i} }\) średniej płacy \(\displaystyle{ 25 }\) pracowników w firmie ma rozkład normalny z parametrami: średnią \(\displaystyle{ \mu = 2000 }\) zł i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma_{Y} = \frac{\sqrt{1,44}} {\sqrt{25}} = \frac{1,2}{5} tys. = 240 }\) zł.

W celu obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ \{ \overline{Y } > 1,8 tys. zl \} }\), przeprowadzimy standaryzację zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ Pr( \{ \overline{Y} > 1,8 \} ) = Pr \left(\left\{ \frac{\overline{Y} - 2000}{240} > \frac{1800- 2000}
{240}\right\} \right) = Pr \left( \left \{Z > -\frac{5}{6} \right\} \right ) = 1 - Pr \left( \left \{ Z \leq -\frac{5}{6} \right \}\right) \approx \\ \approx 1 -\phi(-0,8333) = \phi(0,8333) \approx 0,7976642\approx 0,80. }\)

Z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład \(\displaystyle{ R }\) odczytujemy wartość dystrybuanty

R

Kod: Zaznacz cały

> P = pnorm(0.8333)
> P
[1] [1] 0.7976622

[Werix97]

σ^2=1,44 a czemu nie wyciągniemy normalnie z tego pierwiastka?

[janusz47]

Obliczyliśmy podczas standaryzacji pierwiastek z rozkładu równy \(\displaystyle{ \sqrt{1,44} = 1, 2 tys.}\) zł,znajdując odchylenie standardowe dla \(\displaystyle{ 25 }\) elementowej próby wylosowanych pracowników firmy A.

[Werix97]

no dobrze a jakim celu dzielimy 1,2 tys przez 5?

[janusz47]

Odchylenie standardowe dla średniej z próby \(\displaystyle{ n }\) - elementowej obliczamy ze wzoru \(\displaystyle{ \sigma_{Y} = \frac{\sigma_{X_{i}}}{\sqrt{n}}, \ \ i =1,2,...,25 }\)
W zadaniu: \(\displaystyle{ \sigma_{X_{i}} =\sqrt{1,4} = 1,2, \ \ \sqrt{n} = \sqrt{25} = 5. }\)

[Werix97]

rozumiem, dziękuję

[janusz47]

Interpretacja obliczonej wartości prawdopodobieństwa

Jeżeli rozkład płacy pracowników firmy A jest normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}( 2000 zl, \ \ 1120 zl), }\) to możemy spodziewać się, że około \(\displaystyle{ 80 \% }\) jej pracowników ma płacę większą od \(\displaystyle{ 1800 }\) złotych, a nie tylko próby \(\displaystyle{ 25 }\) pracowników tej firmy.

[Werix97]

a mam jeszcze pytanie tam pod koniec jak jest wartość z 5/6 nie powinno być bez minusa?

[janusz47]

Powinien być minus, bo uwzględniamy zdarzenie przeciwne, po to by móc skorzystać z definicji dystrybuanty.

Na końcu korzystamy z własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego

\(\displaystyle{ 1 -\phi(-a) = 1 - [1 -\phi(a)] = 1 - 1 + \phi(a) = \phi(a). }\)

[Werix97]

Dobrze rozumiem już dziękuję