funkcja produkcji

[pow3r]

Dana jest funkcja produkcji postaci \(\displaystyle{ y= k^{ \frac{1}{2} } +z ^{ \frac{1}{3} } }\)
a)sprawdź czy jest ona silnie wklęsła
b)sprawdź czy jest ona funkcją dodatnio jednorodną
c)wyznacz elastyczność produkcji względem skali nakładów

[janusz47]

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

\(\displaystyle{ y(k,z) = k^{\frac{1}{2}} + z ^{\frac{1}{3}} }\)

a)

\(\displaystyle{ y'(k,z)_{|k} = \frac{1}{2}k^{-\frac{1}{2}} }\)

\(\displaystyle{ y''(k,z)_{|kk} = -\frac{1}{4}k^{-\frac{3}{2}} < 0 }\)

\(\displaystyle{ y'(k,z)_{|z} = \frac{1}{3}z^{-\frac{2}{3}} }\)

\(\displaystyle{ y''(k,z)_{|zz} = -\frac{2}{9}z^{-\frac{5}{3}} < 0 }\)

Jest to funkcja ściśle wklęsła ze względu na każdy składnik produkcji.

b)

\(\displaystyle{ y(a k, b z) = (a k)^{\frac{1}{2}} + (bz)^{\frac{1}{3}} = \sqrt{a}k^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{b}z^{\frac{1}{3}} \neq ak^{\frac{1}{2}} + bz^{\frac{1}{3}} }\)

Nie jest to funkcja dodatnio jednorodna.

c)
Elastyczność względem składnika \(\displaystyle{ k }\)

\(\displaystyle{ E_{k} = \frac{k\cdot \frac{1}{2} \cdot k^{-\frac{1}{2}}}{ k^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}, }\)

Elastyczność wzgkędem składnika \(\displaystyle{ z }\)

\(\displaystyle{ E_{z} = \frac{z\cdot \frac{1}{3}\cdot z^{-\frac{2}{3}}}{ z^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}. }\)