Badania operacyjne - metoda geometryczna programowania liniowego

[Enerdo]

Witam. Mam dwa pytania dotyczące metody geometrycznej, nie konkretnego zadania tylko sytuacji, gdy takie coś może się w zadaniu pojawić.
Pierwsze, gdy wyznaczamy z warunków ograniczających współrzędne, które będziemy umieszczali na wykresie, w jaki sposób wyznaczyć punkty z warunku ograniczającego który jest mniejszy bądź równy zero? Przykładowy warunek o który mi chodzi:
\(\displaystyle{ 3x_1+4x_2 \ge 0}\)

Jak wyznaczam współrzędne, gdy mam przyrównać to do zera?

Drugie pytanie natomiast odnosi się do wyznaczenia gradientu. Gdy funkcja celu ma postać np.:
\(\displaystyle{ z= 2x_1+3x_2 }\)
to wszystko jest dla mnie jasne. Gradient od punktu \(\displaystyle{ (0;0)}\) wyznaczam do punktu \(\displaystyle{ (2;3)}\) linią. Ale co w przypadku gdy funkcja celu w zadaniu ma postać np.
\(\displaystyle{ z= -4x_1+x_2}\)
Czy to mówi o tym, że moja współrzędna zaczyna się od \(\displaystyle{ (0;0)}\) do punktu \(\displaystyle{ (-4;1)}\)? Chodzi mi o ten minus w funkcji celu, jak on wpływa na całe zagadnienie. Gradient oczywiście jest mi potrzebny do wyznaczenia optymalnego pkt max lub min.
Z góry dziękuje za wszystkie odpowiedzi.

[janusz47]

Rysujemy wykres funkcji liniowej o równaniu:

\(\displaystyle{ y = 3x_{1}+ 4x_{2} }\)

Zaznaczamy część płaszczyzny leżącej powyżej tego wykresu \(\displaystyle{ \geq }\) lub poniżej, gdy w ograniczeniu występuje znak \(\displaystyle{ \leq. }\)

Kierunek najszybszego wzrostu lub malenia funkcji celu \(\displaystyle{ z }\) określamy tak jak napisałeś.

[Enerdo]

Ale ja ten warunek rysuję na już istniejącym wykresie z wyznaczonymi prostymi do innych warunków ograniczających. I wyznaczam poprzez podstawienie za pierwszą niewiadomą zera i potem za drugą, co daje mi dwa punkty wyznaczające prostą odnoszącą się do warunku np. (3;0)(0;4). Nie wiem jak obliczyć te pkt, gdzie muszę podstawić tylko i wyłącznie gdy muszę to przyrównać do zera i nanieść na wykres, gdzie mam już inne warunki rozrysowane.

[janusz47]

Punkty wierzchołkowe (wierzchołki) wypukłego wielokąta ograniczeń ZPL znajdujemy, rozwiązując układy równań przecinających się w tych punktach prostych,

[Enerdo]

Można prosić o rozpisanie jakiegoś przykładowego warunku ograniczającego, który przyrównujemy do zera?

[janusz47]

Warunek ograniczający

\(\displaystyle{ x_{1} +3x_{2}- 3 = 0 \ \ (1)}\)

Znajdujemy dwa punkty przecięcia się prostej \(\displaystyle{ (1) }\) z osiami prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ 0 x_{1} x_{2}. }\)

\(\displaystyle{ x_{2} = 0, \ \ x_{1} = 3,}\) punkt \(\displaystyle{ (3, 0) }\)

\(\displaystyle{ x_{1} = 0, \ \ x_{2} = 1, }\) punkt \(\displaystyle{ (0, 1) }\)

Prowadzimy prostą przez punkty \(\displaystyle{ (3,0), \ \ (0,1). }\)

[Enerdo]

Dziękuje za wszystkie odpowiedzi. Już wszystko jasne. Można zamknąć temat.