1.Pan X chce wpłacać na książeczkę systematycznego oszczędzania ustalona kwotę co kwartał, z góry, przez 4 lata. Nominalna stopa procentowa wynosi 13% w skali rocznej. Jaka kwotę musi wpłacać jednorazowo pan X, aby po 4 latach dysponować kwota 60000 zł?
2. Pani H będzie wpłacać na książeczkę systematycznego oszczędzania w następujący sposób: pierwsza wpłata 70 zł., a następnie co kwartał kwotę o 4 zł. większa od poprzedniej. Jaka kwotę uzbiera pani H po 5 latach, jeśli nominalna roczna stopa procentowa wyniesie 14.6%? Zakładamy, ze bank stosuje oprocentowanie składane kwartalne.
Czy mógłby ktoś mi pomóc z tymi zadaniami?
Wpłaty na konto miesięczne/kwartalne
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Re: Wpłaty na konto miesięczne/kwartalne
Zad. 1
\(\displaystyle{ x}\) - szukana wpłata okresowa
\(\displaystyle{ K}\) - kwota końcowa, u nas będzie to \(\displaystyle{ K=60000}\)
\(\displaystyle{ p}\) - oprocentowanie w skali jednego okresu kapitalizacji, podawane w ułamku dziesiętnym nie w procentach! czyli jeśli przykładowo dla \(\displaystyle{ 7\%}\) mamy \(\displaystyle{ p=0.07}\) a nie \(\displaystyle{ p=7}\)
u nas okres kapitalizacji to kwartał więc \(\displaystyle{ p=0.13:4=0.0325}\)
\(\displaystyle{ n}\) - liczba wpłat w całym okresie oszczędzania
u nas mamy \(\displaystyle{ 4}\) lata i wpłata co kwartał (\(\displaystyle{ 4}\) razy w roku) stąd \(\displaystyle{ n=4\cdot4=16}\)
Dla \(\displaystyle{ K=60000, \ p=0.0325, \ n=16}\) korzystasz z następującego wzoru
\(\displaystyle{ x=\frac {K\cdot p}{(1+p)^{n+1}-(1+p)}}\)
Otrzymujemy wynik (zaokrąglony do groszy) \(\displaystyle{ x=2826.55}\) zł
Mój wynik nie uwzględnia podatku \(\displaystyle{ 19\%}\) od odsetek.
Jeśli chcesz taki podatek uwzględnić, wystarczy wartość \(\displaystyle{ p}\) przemnożyć przez \(\displaystyle{ 0.81}\), wówczas \(\displaystyle{ p_*=0.0325\cdot 0.81=0.026325}\) i wykonać obliczenia.
Otrzymasz wtedy \(\displaystyle{ x_*=2985.37}\) zł
Zad. 2
Skorzystajmy ze wzoru na sumę
\(\displaystyle{ K=\sum_{k=1}^{k=n} a_k\cdot (1+p)^{n-k+1}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ n}\) - liczba wpłat (u nas \(\displaystyle{ n=4\cdot 5=20}\) bo w każdym z pięciu lat mamy po cztery wpłaty - co kwartał)
\(\displaystyle{ k}\) - nr wpłaty (rośnie od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\))
\(\displaystyle{ p}\) - oprocentowanie w skali jednego okresu kapitalizacji (u nas kwartału) więc \(\displaystyle{ p=0.146:4=0.0365}\)
\(\displaystyle{ a_k}\) - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a_1=70}\) i różnicy \(\displaystyle{ r=4}\) określający wielkości kolejnych, \(\displaystyle{ k}\)-tych wpłat
\(\displaystyle{ a_k=a_1+(k-1)\cdot r\\ a_k=70+(k-1)\cdot 4\\ a_k=4k+66}\)
\(\displaystyle{ K=\sum_{k=1}^{k=n} \left( 4k+66\right) \cdot (1+p)^{n-k+1}}\)
dla \(\displaystyle{ n=20, \ p=0.0365}\) oraz zmiennej \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\)
szukana kwota końcowa wyniesie \(\displaystyle{ K=3074.20}\) zł (bez uwzględnienia podatku)
(skopiuj cały powyższy link)
aby uwzględnić tutaj podatek, wprowadzamy poprawkę \(\displaystyle{ p_*=0.0365\cdot0.81}\) (wzorem poprzedniego zadania)
\(\displaystyle{ x}\) - szukana wpłata okresowa
\(\displaystyle{ K}\) - kwota końcowa, u nas będzie to \(\displaystyle{ K=60000}\)
\(\displaystyle{ p}\) - oprocentowanie w skali jednego okresu kapitalizacji, podawane w ułamku dziesiętnym nie w procentach! czyli jeśli przykładowo dla \(\displaystyle{ 7\%}\) mamy \(\displaystyle{ p=0.07}\) a nie \(\displaystyle{ p=7}\)
u nas okres kapitalizacji to kwartał więc \(\displaystyle{ p=0.13:4=0.0325}\)
\(\displaystyle{ n}\) - liczba wpłat w całym okresie oszczędzania
u nas mamy \(\displaystyle{ 4}\) lata i wpłata co kwartał (\(\displaystyle{ 4}\) razy w roku) stąd \(\displaystyle{ n=4\cdot4=16}\)
Dla \(\displaystyle{ K=60000, \ p=0.0325, \ n=16}\) korzystasz z następującego wzoru
\(\displaystyle{ x=\frac {K\cdot p}{(1+p)^{n+1}-(1+p)}}\)
Otrzymujemy wynik (zaokrąglony do groszy) \(\displaystyle{ x=2826.55}\) zł
Mój wynik nie uwzględnia podatku \(\displaystyle{ 19\%}\) od odsetek.
Jeśli chcesz taki podatek uwzględnić, wystarczy wartość \(\displaystyle{ p}\) przemnożyć przez \(\displaystyle{ 0.81}\), wówczas \(\displaystyle{ p_*=0.0325\cdot 0.81=0.026325}\) i wykonać obliczenia.
Otrzymasz wtedy \(\displaystyle{ x_*=2985.37}\) zł
Zad. 2
Skorzystajmy ze wzoru na sumę
\(\displaystyle{ K=\sum_{k=1}^{k=n} a_k\cdot (1+p)^{n-k+1}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ n}\) - liczba wpłat (u nas \(\displaystyle{ n=4\cdot 5=20}\) bo w każdym z pięciu lat mamy po cztery wpłaty - co kwartał)
\(\displaystyle{ k}\) - nr wpłaty (rośnie od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\))
\(\displaystyle{ p}\) - oprocentowanie w skali jednego okresu kapitalizacji (u nas kwartału) więc \(\displaystyle{ p=0.146:4=0.0365}\)
\(\displaystyle{ a_k}\) - ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a_1=70}\) i różnicy \(\displaystyle{ r=4}\) określający wielkości kolejnych, \(\displaystyle{ k}\)-tych wpłat
\(\displaystyle{ a_k=a_1+(k-1)\cdot r\\ a_k=70+(k-1)\cdot 4\\ a_k=4k+66}\)
\(\displaystyle{ K=\sum_{k=1}^{k=n} \left( 4k+66\right) \cdot (1+p)^{n-k+1}}\)
dla \(\displaystyle{ n=20, \ p=0.0365}\) oraz zmiennej \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 20}\)
szukana kwota końcowa wyniesie \(\displaystyle{ K=3074.20}\) zł (bez uwzględnienia podatku)
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%284k%2B66%29*%281.0365%29%5E%2821-k%29+from+k%3D1+to+k%3D20(skopiuj cały powyższy link)
aby uwzględnić tutaj podatek, wprowadzamy poprawkę \(\displaystyle{ p_*=0.0365\cdot0.81}\) (wzorem poprzedniego zadania)