Badania operacyjne, programowanie liniowe

[Ravenikki]

Witam
Mam problem z pewnym zadaniem. Jego treść:

Dane jest następujące zagadnienie optymalizacyjne:
\(\displaystyle{ \min f(x) = \alpha x_{1} + x_{2}}\)
przy ograniczeniach:
\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4x_{2} - 12 \le 0 \\
2x_{1} + 3x_{2} - 6 \ge 0 \\
1 \le x_{2} \le 2}\)
Wyznacz rozwiązanie optymalne w zależności od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\)

Wiem, że podstawą jest rysunek, jednak chciałabym poznać kolejne etapy przy rozwiązywaniu tego typu zadania, a zwłaszcza problem z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\).
Z góry dziękuję za pomoc

[Frey]

Okej, tak na intuicje, to wszystko zależy od tego x1. Mamy chociaż podane, że to x1 jest dodatnie? Parametr a może być dowolny? Bo mając dowolną zmienną i jeszcze obciążoną dowolnym parametrem to nie wiem co tutaj z optymalizacją będziemy mieli wspólnego

Jeśli x1 jest dodatnie, to możemy oszacować w jakim przedziale się mieści. Na podstawie ograniczeń.

Ja kojarzę, że takie zadania można narysować. Przyjmij oś X jako x1, oraz oś Y jako x2 i postaraj się narysować ograniczenia podstawiając min i max wartości x2. Biorąc jeszcze od uwagę, że oś y ograniczona będzie przez 1 i 2 to wyjście jakaś płaszczyzna, którą pewnie będzie miała jakiś minimum. Spróbuj pójść w tym kierunku. Potem rysuje się taki "wektor" a nachylenie tego wektora będzie zależeć od parametru "a" właśnie, zatem będzie można też coś o tym parametrze powiedzieć

[Ravenikki]

Frey, w zadaniu było tylko to co napisałam, nic poza tym, dlatego parametr pozostaje dowolny i wszystko od niego zależy.

Rysunek mam zrobiony, wyszła ograniczona płaszczyzna w kształcie równoległoboku. Wiem, że minimum trzeba szukać w wierzchołkach tej płaszczyzny, ale słyszałam, że czasem może wyjść też cały odcinek, który zapewnia optimum.
Ktoś mi kiedyś tłumaczył, że wektor o którym mówiłeś trzeba tak jakby "obracać" by stykał się z wierzchołkami. Nie wiem tylko jak to ładnie opisać, czy najlepiej zacząć od przyjęcia parametru jako np. 1?

[Frey]

Wyszedł równoległobok, to dobrze.

Kurcze bez rysunku ciężko mówić, ale tak najlepiej zacząć od parametru 1, wtedy wektor będzie miał nachylenie 45 stopni. Generalnie prowadzi się styczne do wektora i ta styczna, która jest najniżej i styka się z równoległobokiem, tam będzie minimum. (Jeśli to nie jasne to zrobię jakiś rysunek pomocniczy).

Może zdarzyć się tak, że przy jakieś wartości parametru a, rozwiązaniem nie będzie punkt lecz jeden z boków tego równoległoboku. Wszystko zależy jaki ma ten równoległobok kształt
Problem pojawia się dla parametru ujemnego.

Do rysowania równoległoboku przyjęłaś, że x1, jest dodatnie tak?

[Ravenikki]

Ok, już rozumiem jak postępować. A jaki problem jest z parametrem ujemnym? (bo taki również może być w takim zadaniu)

Do rysowania nie musiałam przyjmować dodatniego x1, figura wyszła po narysowaniu samych ograniczeń

[Frey]

\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4x_{2} - 12 \le 0}\)

Jeśli x1 jest ujemne wtedy, to nierówności się odwracają, w tym miejscu pojawia się problem. Nie wiem czy mam racje, ktoś powinien to potwierdzić, ale np. jak podstawimy za x2 jako 1 to mamy

\(\displaystyle{ 3x_{1} + 4 - 12 \le 0 \\ 3x_{1} \le 8 \\}\)

I teraz jeśli x1 jest dodatnie to
\(\displaystyle{ x_{1} \le \frac{8}{3}}\)

Jeśli x1 jest ujemne to wtedy
\(\displaystyle{ x_{1} \ge \frac{-8}{3}}\)

Przynajmniej tak sądzę.

Z parametrem a też jej problem, bo kiedy jest dodatnie to wektor skierowany jest w kierunku ćwiartki I (jeśli patrzymy na wykres jak na układ współrzędnych). Jeśli a jest dowolne, czyli np ujemne, wtedy wektor odchyla się do ćwiartki II, przez co może być problem z optymalizacją. Nadal da się poprowadzić do niego styczną, ale wtedy jest to co najmniej dziwne