Ekonomia matematyczna - samouk
: 30 sie 2011, o 15:08
Witam wszystkich serdecznie, mam kilka pytań w związku z ekonomią matematyczną, kupiłem sobie książkę, ale nie wszystko z niej rozumiem, dlatego prosiłbym o wytłumaczenie ( w miarę możliwości jak najprościej, gdyż dopiero stawiam pierwsze kroki w świecie ekonomii ;p ):
1. w książce jest zadanie:
Dana jest funkcja użyteczności pewnego konsumenta w postaci
\(\displaystyle{ u=(x_1,x_2,.......x_k)= \sum_{1}^{k} b_{j} \ln( x_{j}) \text{, gdzie } b_{j} \in (0,1).}\)
1. sprawdź czy funkcja ta spełnia pierwsze prawo gossena
2.jeśli przyrosty konsumpcji kolejnych dóbr są równe \(\displaystyle{ dx_1, dx_2, ......dx_k}\), określ o ile wzrośnie użyteczność tego konsumenta
3. wyznacz optymalne wartości konsumpcji \(\displaystyle{ }\)k-dóbr przy założeniu, ze ceny tych dóbr są dodatnie.
wiec tak:
co do 1), to udało mi się wyklecić cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x_1} = \frac{1}{x_1} \sum_{2}^{k}b_{j} \ln( x_{j}) >0 \\
\frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}x^2_{1}} = - x^{-2} \sum_{2}^{k}b_{j} \ln( x_{j}) <0}\)
czy dobrze wyprowadziłem? jeśli nie, proszę o poprawę
2. tutaj rozumiem, ze na podstawie wzoru \(\displaystyle{ \mbox{d}u = \mu_{1}\mbox{d}x_1 +\mu_2\mbox{d}x_2....}\)
mam coś wyprowadzić, ale nie wiem dokładnie co, mógłby mnie ktoś nakierować?
3. tego w ogóle nie wiem jak zrobić, znajoma coś mi tłumaczyła, że dla 2 dóbr oblicza się optymalną wielkość konsumpcji metodą Lagrange'a ( która umiem), natomiast dla 3 i więcej metodą \(\displaystyle{ \frac{\mu_{i}}{\mu_{j}} = \frac{p_i}{p_j}}\) - mógłby mi ktoś wytłumaczyć o co w tej metodzie chodzi?
Pytanie z innej beczki:
- w jednym zadaniu mam coś takiego, że mam na podstawie funkcji użytecznosci wyznaczyć równania krzywych obojętności i policzyć krańcowe stopy substytucji miedzy konsumpcja obu analizowanych dóbr = mógłby mnie ktoś oświecić o co chodzi? wydaje mi sięe, że chodzi tu o jeden i ten sam wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}x_2}{\mbox{d}x_1} = - \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}}\) , ale co z tym robić, pojęcia nie mam.
pytanie bardziej z matmy:
mam taka funkcje użytecznosci:
\(\displaystyle{ - \sum_{1}^{n} \frac{1}{ x_{j} }}\)
i mam sprawdzić, czy spełnia pierwsze prawo gossena. o co chodzi z tym minusem przed sumą? ona ją neguje(w sensie, ze zamiast +, wszędzie będzie - )??
kolejne pytanie:
mam funkcje użyteczności 2 dóbr \(\displaystyle{ ( x_1, x_2)>0}\) i mam sprawdzić, czy hesjan tej funkcji jest ujemnie określony, jak to zrobić?
dla przykładu taka funkcja:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{ x^{4}_1 } -\frac{1}{ x^{k}_2 },\ \ k>0}\)
z książki zrozumiałem coś, że pierwszy minor musi być ujemny, a drugi dodatni - ale nie wiem co to minor, ani jak sprawdzić, żeby był ujemny ;p mógłbym prosić o jakiśs przykład?
i na koniec pytanie ostatnie : warunki inady - jak to sie sprawdza?
byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wytłumaczenie powyższych przykładów. uczę się sam, wiec idzie powoli jak usunięto, a nie mam nikogo, kogo mógłbym poprosić o wyjaśnienie.
1. w książce jest zadanie:
Dana jest funkcja użyteczności pewnego konsumenta w postaci
\(\displaystyle{ u=(x_1,x_2,.......x_k)= \sum_{1}^{k} b_{j} \ln( x_{j}) \text{, gdzie } b_{j} \in (0,1).}\)
1. sprawdź czy funkcja ta spełnia pierwsze prawo gossena
2.jeśli przyrosty konsumpcji kolejnych dóbr są równe \(\displaystyle{ dx_1, dx_2, ......dx_k}\), określ o ile wzrośnie użyteczność tego konsumenta
3. wyznacz optymalne wartości konsumpcji \(\displaystyle{ }\)k-dóbr przy założeniu, ze ceny tych dóbr są dodatnie.
wiec tak:
co do 1), to udało mi się wyklecić cos takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x_1} = \frac{1}{x_1} \sum_{2}^{k}b_{j} \ln( x_{j}) >0 \\
\frac{\mbox{d}^{2}u}{\mbox{d}x^2_{1}} = - x^{-2} \sum_{2}^{k}b_{j} \ln( x_{j}) <0}\)
czy dobrze wyprowadziłem? jeśli nie, proszę o poprawę
2. tutaj rozumiem, ze na podstawie wzoru \(\displaystyle{ \mbox{d}u = \mu_{1}\mbox{d}x_1 +\mu_2\mbox{d}x_2....}\)
mam coś wyprowadzić, ale nie wiem dokładnie co, mógłby mnie ktoś nakierować?
3. tego w ogóle nie wiem jak zrobić, znajoma coś mi tłumaczyła, że dla 2 dóbr oblicza się optymalną wielkość konsumpcji metodą Lagrange'a ( która umiem), natomiast dla 3 i więcej metodą \(\displaystyle{ \frac{\mu_{i}}{\mu_{j}} = \frac{p_i}{p_j}}\) - mógłby mi ktoś wytłumaczyć o co w tej metodzie chodzi?
Pytanie z innej beczki:
- w jednym zadaniu mam coś takiego, że mam na podstawie funkcji użytecznosci wyznaczyć równania krzywych obojętności i policzyć krańcowe stopy substytucji miedzy konsumpcja obu analizowanych dóbr = mógłby mnie ktoś oświecić o co chodzi? wydaje mi sięe, że chodzi tu o jeden i ten sam wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}x_2}{\mbox{d}x_1} = - \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}}\) , ale co z tym robić, pojęcia nie mam.
pytanie bardziej z matmy:
mam taka funkcje użytecznosci:
\(\displaystyle{ - \sum_{1}^{n} \frac{1}{ x_{j} }}\)
i mam sprawdzić, czy spełnia pierwsze prawo gossena. o co chodzi z tym minusem przed sumą? ona ją neguje(w sensie, ze zamiast +, wszędzie będzie - )??
kolejne pytanie:
mam funkcje użyteczności 2 dóbr \(\displaystyle{ ( x_1, x_2)>0}\) i mam sprawdzić, czy hesjan tej funkcji jest ujemnie określony, jak to zrobić?
dla przykładu taka funkcja:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{ x^{4}_1 } -\frac{1}{ x^{k}_2 },\ \ k>0}\)
z książki zrozumiałem coś, że pierwszy minor musi być ujemny, a drugi dodatni - ale nie wiem co to minor, ani jak sprawdzić, żeby był ujemny ;p mógłbym prosić o jakiśs przykład?
i na koniec pytanie ostatnie : warunki inady - jak to sie sprawdza?
byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wytłumaczenie powyższych przykładów. uczę się sam, wiec idzie powoli jak usunięto, a nie mam nikogo, kogo mógłbym poprosić o wyjaśnienie.