Renty Kapitałowe - wzory
: 21 lut 2011, o 02:15
Renty kapitałowe(Annuity)
Zauważyłem, że pada wiele pytań dotyczących rent kapitałowych, więc poniżej umieszczam podstawowe info na ten temat. Mam nadzieję, że okażą się przydatneRentą nazywamy ciąg płatności (rat) dokonywanych (zazwyczaj) w równych odstępach czasu i równych wartościach. Cechami charakterystycznymi dla takich przepływów są:
- stopa procentowa,
- ilość rat,
- długość okresu bazowego (odstępów czasowych między kolejnymi płatnościami),
- sposób naliczania odsetek,
- moment płatności.
Renta zgodna (n=k)
Z rentą zgodną mamy do czynienia, gdy liczba okresów kapitalizacji w roku, jest równa liczbie płatności - okresy te są zgodne. Moment wpłacania (wypłacania) środków w okresie bazowym określamy na dwa sposoby:
- z dołu - kiedy wpłata (wypłata) jest dokonywana na koniec danego okresu
- z góry - kiedy wpłata (wypłata) jest dokonywana na początku danego okresu
PV _{z gory}=A \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{k} }{n} \right) ^{-k \cdot t} }{ \frac{r _{k} }{n} } \cdot \left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right)\\
FV _{z dolu}=A \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{k \cdot t}-1 }{ \frac{r _{n} }{n} } \\
FV _{z gory}=A \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{k \cdot t}-1 }{ \frac{r _{n} }{n} } \cdot \left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right)}\)
gdzie,
PV - wartość obecna
FV - wartość przyszła
A - wysokość raty
\(\displaystyle{ r _{n}}\) - roczna stopa procentowa
k - liczba płatności w ciągu roku
n - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku równa liczbie płatności w ciągu roku
t - ilość lat
k \(\displaystyle{ \cdot}\) t - liczba wszystkich rat
\(\displaystyle{ \hline}\)
Renta niezgodna (n > k)
W tym wypadku zajmiemy się rentą w której ilość okresów kapitalizacji w roku jest większa niż liczba wpłacanych rat (na przykład kapitalizacja miesięczna, a wpłaty kwartalne). Jedyna modyfikacja powyższych wzorów polega na podmienieniu wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{r _{n} }{n}}\) na \(\displaystyle{ \frac{r _{k} }{k}}\), które wyliczymy za pomocą następującego wzoru.
\(\displaystyle{ \frac{r _{k} }{k} = \sqrt[k]{\left(1+ \frac{r _{n} }{n} \right) ^{n} } -1}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
Renta niezgodna (k > n)
Dla liczby płatności większych niż okresy kapitalizacji można zastosować metodę z przypadku, gdy n > k. Drugim podejściem jest zastosowanie modelu wykładniczo-liniowego.
\(\displaystyle{ PV _{z dolu} = A \cdot \left(m+ \frac{m-1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{-n \cdot t} }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
PV _{z gory} = A \cdot \left(m+ \frac{m+1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{1-\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{-n \cdot t} }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
FV _{z dolu} = A \cdot \left(m+ \frac{m-1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{n \cdot t} -1 }{ \frac{r _{n} }{n} }\\
FV _{z gory} = A \cdot \left(m+ \frac{m+1}{2} \cdot \frac{r _{n} }{n} \right) \cdot \frac{\left(1+ \frac{r _{n} }{n}\right) ^{n \cdot t} -1 }{ \frac{r _{n} }{n} }\\}\)
gdzie,
m - liczba płatności w jednym okresie kapitalizacji
\(\displaystyle{ \hline}\)
Renta wieczysta (perpetuity)
Renta wieczysta jest wypłacana nieskończenie długo. Nie można wyznaczyć jej wartości przyszłej. \(\displaystyle{ PV _{z dolu}= \frac{A}{i} \\
PV _{z gory} = \frac{A}{i} \cdot (1+i)}\)
gdzie,
i - stopa procentowa w okresie płatności