promień zbieżności

[ggx]

Dzisiaj dostałem takie zadanko:

Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2^{n} n!}{(2n)!}x^{n}}\)

Jak to zrobić? \(\displaystyle{ R\ =\ lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)?

[Sir George]

Jak to zrobić? \(\displaystyle{ R\, =\, \lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)?

To jeden ze sposobów...

Przy okazji... zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{2^n\,n!}{(2n)!}\, =\, \frac{(2n)!!}{(2n)!}=\, \frac{1}{(2n-1)!!}}\)

[ggx]

Czyli limes dąży do 0?
Promień = nieskończoność?

Jeśli nie, to co się robi z tym \(\displaystyle{ x}\)?

[Sir George]

Promień = nieskończoność?

TAK

Czyli limes dąży do 0?

NIE!!! limes - jak piszesz - do niczego nie dąży! Jest oznaczenie liczby (jednej, stałej, ustalonej!), która jest granicą ciągu!

(...) co się robi z tym \(\displaystyle{ x}\)?

Nie wiem... tzn. wiem, ale nie powiem... hmm, tak naprawdę, to skoro jest to szereg potęgowy, możesz skorzystać z gotowych wzorów i twierdzeń mówiących, że szereg jest zbieżny bezwzględnie w każdym przedziale domkniętym zawartym wewnątrz przedziału (-R,R), gdzie \(\displaystyle{ \frac1R\, =\, \lim_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|}\)

[ggx]

Dzięki za pomoc. Temat już nieaktualny. Analiza zdana!