Zbieżność szeregu funkcyjnego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry
Jak sobie poradzić, gdy nie mogę łatwo stwierdzić, co jest moim \(\displaystyle{ a_{n}}\)?
Trzeba policzyć, jaki jest promień zbieżności szeregu, funkcje graniczne i czy na uzyskanym przedziale jest jednostajnie zbieżny.
a) \(\displaystyle{ x \ge 0}\), \(\displaystyle{ f_{n}(x)= \frac{1}{1+nx} }\)
b) \(\displaystyle{ f_{n}(x)=2n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Dasio11 »

Nie można obliczyć promienia zbieżności, bo to z definicji wielkość związana tylko z szeregami potęgowymi (czyli szeregami postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\)), a podane ciągi funkcyjne nawet nie są szeregami. Odnośnie reszty, na którym etapie jest problem? Jeśli nie potrafisz od razu zgadnąć funkcji granicznej, to weź kilka losowych iksów: \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x= \pi}\) - i oblicz granicę ciągu, a potem spróbuj uogólnić.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Niepokonana »

Aaaa ok to można zgadnąć to ja zgadnę a Ty powiesz czy dobrze. Pierwsza dąży do funkcji tożsamościowo równej zero i druga też.

Dodano po 34 sekundach:
Przy czym tylko dla niezerowych iksów.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Janusz Tracz »

Niedydaktyczne rozwiązanie podpunktu (a):    
Niepotrzebnie skomplikowane oraz niedydaktyczne rozwiązanie podpunktu (b):    
PS @Niepokonana preferowane jest jednak aby zrobić to tak jak Dasio11 radzi. To co ja proponuję to sztuczki które czasem zadziałają, a czasem nie (szczególnie to w podpunkcie (b)).
Ostatnio zmieniony 21 cze 2022, o 14:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Dasio11 »

Skoro masz kandydatów na funkcje graniczne, to spróbuj udowodnić, że istotnie nimi są. Żeby zbadać zbieżność jednostajną, wyobraź sobie że grasz w następującą grę:

1. arek1357 wybiera liczbę \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\);
2. Ty wybierasz \(\displaystyle{ N \in \NN}\);
3. arek1357 wybiera liczbę \(\displaystyle{ n \ge N}\);

Jeśli dla wszystkich iksów z dziedziny zachodzi \(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon}\), wygrywasz. W przeciwnym razie wygrywa arek1357.

W przykładzie (a), tj. dla \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{1}{1+nx}}\) i

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x = 0 \\ 0 & \text{dla } x > 0 \end{cases}}\),

arek1357 zaczyna wybierając \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\). Czy potrafisz wygrać z arkiem?
ODPOWIEDZ