Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: malwinka1058 »

Sprawdzić, czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n!} }\) jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [-1,1].}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Premislav »

Rzut oka na przybliżenie \(\displaystyle{ \arctan t \approx t-\frac{t^3}{3}}\) w okolicach zera (ta aproksymacja wynika np. ze wzoru Taylora) sugeruje, że poza zerem nie ma nawet zbieżności punktowej (BTW na pewno dobrze przepisane?). Formalizuje się to tak, że warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej na danym zbiorze jest zbieżność punktowa, a dla ustalonego iksa to jest jak zbieżność szeregu liczbowego z parametrem, tj. z kolei jej warunkiem koniecznym jest to, by wyrazy zbiegały do zera, a jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), to również \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}|a_n|=0}\), no i do wykazania, że to ostatnie (poza zerem) nie zachodzi, przydaje się wspomniana aproksymacja.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: malwinka1058 »

Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n} }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego

Post autor: Janusz Tracz »

Kryterium Weierstrassa daje odpowiedź

\(\displaystyle{ (\forall x\in[-1,1] ) (\forall n \in \NN) \quad \left| \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n}\right| \le \sup_{x\in [-1,1]} \left| \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n}\right| = \frac{2^n n!}{7}\arctg \frac{1}{n^n} \approx \frac{2^nn!}{n^n}. }\)
Poza tym \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{2^nn!}{n^n} }\) jest zbieżny.
ODPOWIEDZ