Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin\left( \frac{x}{n}\right).}\)
Zbadać zbieżność jednostajną
-
sp1729
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 18 kwie 2020, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 5 razy
Zbadać zbieżność jednostajną
Ostatnio zmieniony 24 maja 2022, o 08:02 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat nie powinien być poczatkiem posta.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat nie powinien być poczatkiem posta.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zbadać zbieżność jednostajną
Aby zadanie miało sens trzeba powiedzieć na jakim zbiorze chcesz badać zbieżność jednostajną. Tak czy inaczej coś powiem o zadaniu. Ten szereg jest zbieżny niemal jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\). To znaczy jeśli \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) jest zwarty to tam mamy zbieżność jednostajną wynika to wprost z Kryterium Weierstrassa oraz nierówności \(\displaystyle{ \left| \sin \xi\right| \le \left| \xi\right| }\). Wystarczy zauważyć, że, gdy \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) jest zwarty to
Za to zbieżność jednostajna na \(\displaystyle{ \RR}\) (a raczej jej prawdopodobny brak) to ciekawa sprawa. Wydaje mi się, że można to zrobić pokazując, że ciąg sum częściowych nie spełnia jednostajnego warunku Cauchy’ego. Na temat tej funkcji są prace:
T. M. Flett ; On the Function \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{t}{n}}\)
Horst Alzer, Christian Berg, Stamatis Koumandos; On a conjecture of Clark and Ismail
Istnieje ciąg \(\displaystyle{ y_k}\) na którym \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{y_k}{n} \to \infty }\) dla \(\displaystyle{ k\to \infty .}\) Choć rozbieżność ta jest bardzo wolna.
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin \left( x/n\right) }{n} \right| \le \frac{\left| x\right| }{n^2} \le \frac{\displaystyle \sup \left\{ \left| x\right|:x\in X\right\} }{n^2} }\)
a \(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1/n^2< \infty .}\)Za to zbieżność jednostajna na \(\displaystyle{ \RR}\) (a raczej jej prawdopodobny brak) to ciekawa sprawa. Wydaje mi się, że można to zrobić pokazując, że ciąg sum częściowych nie spełnia jednostajnego warunku Cauchy’ego. Na temat tej funkcji są prace:
Kod: Zaznacz cały
londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-25.1.5Kod: Zaznacz cały
sciencedirect.com/science/article/pii/S0021904505000328#bib6Istnieje ciąg \(\displaystyle{ y_k}\) na którym \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{y_k}{n} \to \infty }\) dla \(\displaystyle{ k\to \infty .}\) Choć rozbieżność ta jest bardzo wolna.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Zbadać zbieżność jednostajną
Ustalmy \(\displaystyle{ N \in \NN}\) i niech \(\displaystyle{ x = \frac{2 \pi}{3} \cdot N}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ N \le n \le 2N}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \le \frac{x}{n} \le \frac{2 \pi}{3}}\), więc
\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n}}\).
Wiadomo, że dla dużych \(\displaystyle{ N}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \approx \ln 2}\),
co dowodzi że szereg nie spełnia warunku Cauchy'ego jednostajnej zbieżności, czyli nie jest jednostajnie zbieżny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n}}\).
Wiadomo, że dla dużych \(\displaystyle{ N}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \approx \ln 2}\),
co dowodzi że szereg nie spełnia warunku Cauchy'ego jednostajnej zbieżności, czyli nie jest jednostajnie zbieżny.