Szereg Fouriera, a w zasadzie jego suma

[eulerelue]

Witam, mam do rozwiązania zadanie o treści:
Dokonując odpowiedniego przedłużenia rozwinąć funkcję w szereg sinusów i wyznaczyć sumę szeregu dla x= \(\displaystyle{ \pi }\)

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix}
x, x\in [0,\pi ] & \\
0, x\in (\pi,2\pi ] &
\end{matrix}\right.}\)

Skoro ma to być szereg sinusów przedłużyłem funkcję, tak aby była nieparzysta, oraz wymusiłem spełnianie warunków Dirchleta.

\(\displaystyle{ \hat{f}(x)=\left\{\begin{matrix}
x, x\in (-\pi,\pi ) & \\
-\frac{\pi}{2}, x\in\left \{-\pi\right \}& \\
\frac{\pi}{2}, x\in\left \{\pi\right \}& \\
0, x\in (\pi,2\pi ] &
\end{matrix}\right.}\)

Następnie policzyłem \(\displaystyle{ b_{n} }\):

\(\displaystyle{ b_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-2\pi}^{2\pi}\hat{f}(x)*\sin(\frac{n \pi x}{2\pi})dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\hat{f}(x)*\sin(\frac{nx}{2})dx = \frac{1}{\pi}(\int_{0}^{\pi}x*\sin(\frac{nx}{2})dx+\int_{\pi}^{2\pi}0*\sin(\frac{nx}{2})dx)=\\=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x*\sin(\frac{nx}{2})dx=\frac{4\sin(\frac{n\pi}{2})-2\pi n\cos(\frac{n\pi}{2})}{\pi n^{2}}}\)

więc:

\(\displaystyle{ \hat{f}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\sin(\frac{n\pi}{2})-2\pi n\cos(\frac{n\pi}{2})}{\pi n^{2}}*\sin(\frac{nx\pi}{2\pi})}\)

Teraz wyznaczanie sumy:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\sin^{2}(\frac{n\pi}{2})-2\pi n\cos(\frac{n\pi}{2})\sin(\frac{n\pi}{2})}{\pi n^{2}}}\)

ze wzoru podwojonego kąta:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\sin^{2}(\frac{n\pi}{2})-\pi n\sin(n\pi)}{\pi n^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sin(n\pi) = 0}\)

więc:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\sin^{2}(\frac{n\pi}{2})}{\pi n^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sin^{2}(\frac{n\pi}{2})\in \left \{ 0,1 \right \}}\)

\(\displaystyle{ 2\sin^{2}(\frac{n\pi}{2})=(1-(-1)^{n})}\)

zatem:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(1-(-1)^{n})}{\pi n^{2}}}\)

i tu pojawia się mój problem. Upraszczam tą sumę do postaci:

\(\displaystyle{ -\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right )}\)

i nie mam pojęcia co zrobić dalej.
Prosiłbym o sprawdzenie poprawności tego co wyliczyłem i pomoc w dalszym wyznaczaniu sumy. Z góry dziekuję

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x \ \ \mbox{gdy} \ \ x\in [-\pi, \ \ \pi] \\ 0 \ \ \mbox{w pozostałych przypadkach} \end{cases} }\)

Funkcja wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ [-\pi, \ \ \pi] }\) jest ciągła i monotoniczna - spełnia warunki Dirichleta.


\(\displaystyle{ a_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} xdx = \frac{1}{\pi} \frac{x^2}{2} \mid_{-\pi}^{\pi} = 0.}\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cdot \cos(n x) dx = 0 }\)

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cdot \sin (n x) dx = [ przez \ \ części] = \frac{1}{n}\left( -x\frac{1}{n}\cos(nx)\mid_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx) dx \right) = \ \ ... \ \ = (-1)^{n+1}\frac{2}{n} }\)

Trygonometryczny szereg Fouriera sinusów:

\(\displaystyle{ 2\left( \sin(x) - \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(3x) -\ \ ... \ \ + (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(nx)+ \ \ ... \right) = 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n} \sin(nx) .}\)

Suma tego szeregu \(\displaystyle{ s }\) jest funkcją \(\displaystyle{ s(x). }\)

Wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ [\pi, \ \ \pi], \ \ s(x) = f(x) = x. }\)

W punktach \(\displaystyle{ \pm \pi }\) wszystkie wartości \(\displaystyle{ \sin(nx) = \sin(n\pi) = 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ s (\pm \pi) = 0.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ s(x) }\) ma być funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ 2\pi. }\)

Przedłużenie analityczne tej funkcji można przestawić w postaci:

\(\displaystyle{ s(x) = \begin{cases} x - \left\lfloor \frac{x}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi, \ \ x \neq \pm \pi, \ \ \pm 3\pi, \ \ \pm 5\pi \ \ ... \\ 0, \ \ x = \pm \pi, \ \ \pm 3\pi, \ \ \pm 5\pi \ \ ... \end{cases} }\)

[eulerelue]

Bardzo dziękuję za odpowiedź, jednak chyba nie do końca zrozumiał Pan moją prośbę.

Prosiłbym o sprawdzenie poprawności tego co wyliczyłem i pomoc w dalszym wyznaczaniu sumy. Z góry dziekuję

Z tego co Pan napisał nie wiele dla mnie wynika.
Mimo wszystko udało mi się dojść do tego jak wyznaczyć tą sumę.

Sumę:
\(\displaystyle{ -\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right )}\)

rozdzielam na parzyste n i nieparzyste:

\(\displaystyle{ -\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \left ( \frac{(-1)}{(2n-1)^{2}}-\frac{1}{(2n-1)^{2}}\right )+ \left ( \frac{1}{(2n)^{2}}-\frac{1}{(2n)^{2}}\right )\right )}\)

po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{1}{(2n-1)^{2}}\right )}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{1}{(2n-1)^{2}}\right )}\)

Należy po prostu pod \(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)}\) podstawić jej wartość podaną tu:

\(\displaystyle{ \hat{f}(x)=\left\{\begin{matrix} x, x\in (-\pi,\pi ) & \\ -\frac{\pi}{2}, x\in\left \{-\pi\right \}& \\ \frac{\pi}{2}, x\in\left \{\pi\right \}& \\ 0, x\in (\pi,2\pi ] & \end{matrix}\right.}\)

I wyznaczyć wartość sumy.

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{1}{(2n-1)^{2}}\right )}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{1}{(2n-1)^{2}}\right )=\frac{\pi^2}{8}}\)

No i finalnie:

\(\displaystyle{ \hat{f}(\pi)=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi}{2}}\)

[janusz47]

Sumy, które Pan teraz przedstawił (jeśli je Pan samodzielnie wyznaczał) w przeciwieństwie do pierwszego postu - są wyznaczone poprawnie.

[eulerelue]

Wszystko wyznaczałem samodzielnie. Wynik który uzyskałem w drugim poście jest kontynuacją obliczeń z pierwszego, więc czy mógłby Pan wskazać błędy w pierwszym poście?

[janusz47]

W pierwszym poście sumy Pan nie wyznaczył, twierdząc " nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić" I następnego dnia wyznaczył Pan sumy szeregów samodzielnie.

Jest Pan ambitnym studentem. Życzę dalszych sukcesów na studiach.