Promień zbieżności

[kt26420]

Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^{5^n}x^{a_n}, }\)

gdzie \(\displaystyle{ a_1 = 1 }\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=5a_n+(-3)^n }\)dla \(\displaystyle{ n\geq 1.}\)

Doszłam do tego, że : \(\displaystyle{ a_{n} = \frac18 (-(-3)^n + 5^n)}\), a dalej nie mam pomysłu jak to robić.

[arek1357]

A jakbyś napisał to w takiej formie:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b_{n}x^n}\)

gdzie:


\(\displaystyle{ b_{n}= \begin {cases} 2^{5^k} &\text{dla}& n=a_{k} \\ 0 &\text{dla}& n \neq a_{k} \end {cases} }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=5a_{n}+(-3)^n}\)


a potem liczyć promień zbieżności z definicji...

[Dasio11]

Można zastosować wariant kryterium Cauchy'ego: jeśli istnieje granica \(\displaystyle{ g = \lim_{n \to \infty} \sqrt[5^n]{|a_n|}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny gdy \(\displaystyle{ g < 1}\) i jest rozbieżny gdy \(\displaystyle{ g > 1}\). Do policzenia zatem jest granica

\(\displaystyle{ g = \lim_{n \to \infty} \sqrt[5^n]{ 2^{5^n} \cdot |x|^{\frac{1}{8} \left( 5^n - (-3)^n \right)} }}\)

[kt26420]

Można zastosować wariant kryterium Cauchy'ego: jeśli istnieje granica \(\displaystyle{ g = \lim_{n \to \infty} \sqrt[5^n]{|a_n|}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny gdy \(\displaystyle{ g < 1}\) i jest rozbieżny gdy \(\displaystyle{ g > 1}\). Do policzenia zatem jest granica

\(\displaystyle{ g = \lim_{n \to \infty} \sqrt[5^n]{ 2^{5^n} \cdot |x|^{\frac{1}{8} \left( 5^n - (-3)^n \right)} }}\)

Tak, dziękuję, tak to chciałam też robić. Ale ciekawi mi jak sobie poradzić z tym \(\displaystyle{ x^{5^n-(-3)^n}}\)? Szukałam podobnych przykładów, ale nic nie znalazłam... Byłabym bardzo wdzięczna, gdyby Pan mógł chociażby słownie to wyjaśnić jak robić dalej.

[Dasio11]

Wystarczą reguły działań na potęgach i arytmetyka granic:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[5^n]{|x|^{\frac{1}{8} \left( 5^n - (-3)^n \right)}} = \lim_{n \to \infty} |x|^{\frac{1}{8} \cdot \frac{5^n - (-3)^n}{5^n}} = \lim_{n \to \infty} |x|^{\frac{1}{8} \cdot \left( 1 - \left( -\frac{3}{5} \right)^n \right)} = |x|^{\frac{1}{8}}}\)

przy czym ostatnie przejście wynika z tego że \(\displaystyle{ \left( -\frac{3}{5} \right)^n \to 0}\).