Ścieżka wirowa Karmana

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
maciek_r10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Ścieżka wirowa Karmana

Post autor: maciek_r10 »

Przerabiam teraz w ramach samokształcenia "Podstawy mechaniki płynów" Ryszarda Grybosia, wydanie PWN z 1989 roku. W rozdziale traktującym o przepływach potencjalnych, autor wyprowadza funkcję prądu dla ścieżki wirowej Karmana.
Ścieżka wirowa Karmana to nieskończony zbiór pojedynczych wirów o jednakowej cyrkulacji \(\displaystyle{ \Gamma}\) pokrywających się z osią 0x i rozmieszczonych w jednakowej odległości od siebie a. Jest to zagadnienie płaskie co jego badanie znacznie upraszcza. Cała ścieżka wirów indukuje w punkcie \(\displaystyle{ P(x, y)}\) przepływ, któremu odpowiada funkcja prądu
\(\displaystyle{ \psi=- C \sum_{i=1}^{ \infty }\ln r _{i} . }\)
Rozumiem przy tym, że:
\(\displaystyle{ C= \frac{\Gamma}{2\pi} }\)
Indeksem \(\displaystyle{ i}\) oznaczono kolejny wir, natomiast \(\displaystyle{ r _{i} }\) to poprowadzony do niego z punktu \(\displaystyle{ P(x, y)}\), promień wodzący.
"Występującą tu sumę funkcji logarytmicznych można przedstawić w postaci zamkniętej
\(\displaystyle{ \psi=- \frac{1}{2} C \ln\left( \frac{1}{2}\cosh\frac{2\pi y}{a}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a} \right). }\)"
Nie ma w tym miejscu żadnego odsyłacza do jakiejkolwiek pozycji w bibliografii, byłbym więc wdzięczny za naprowadzenie/wskazanie toku rozumowania w wyniku którego uzyskano tę "postać zamkniętą". Z góry dziękuję!
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Ścieżka wirowa Karmana

Post autor: janusz47 »

Występującą sumę funkcji logarytmicznych przedstawiono w postaci, zamkniętej, zamieniając sumę logarytmów szeregu na logarytm szeregu iloczynu promieni wądzących \(\displaystyle{ r_{i}}\).

Aby ujednorodnić funkcję prądu \(\displaystyle{ \Psi }\) i punktowe wiry \(\displaystyle{ \Gamma_{i} }\) "uciąglić" do postaci współśrodkowych okręgów (w celu - obliczania prędkości, natężenia, cyrkulacji pola prądu) - zastosowano ścieżkę wirową Karmana, polegającą na przedstawieniu \(\displaystyle{ r_{i} }\) w postaci funkcji \(\displaystyle{ \exp() }\) i zapisując sumę szeregu w postaci różnicy kosinusa hiperbolicznego i zwykłego kosinusa.

Pierwsza z tych funkcji odnosi się do kierunku zgodnego z osią \(\displaystyle{ Oy }\) - druga z osią \(\displaystyle{ Ox.}\)
maciek_r10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Re: Ścieżka wirowa Karmana

Post autor: maciek_r10 »

Dziękuję za szybką odpowiedź Januszu!
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ścieżka wirowa Karmana

Post autor: Janusz Tracz »

Ja tej odpowiedzi nie rozumiem. W sensie to jest zreferowanie tego co się stało ale dla mnie to nie jest wyjaśnienie. Jeśli maciek_r10 ta odpowiedź wyjaśnia Ci w szczegółach jak z jednego wzoru powstał drugi i umiałbyś to teraz samodzielnie zrobić na jakimś egzaminie, to ok, wtedy proszę zignorować to co dalej piszę.
janusz47 pisze: 12 lut 2022, o 13:34 Występującą sumę funkcji logarytmicznych przedstawiono w postaci, zamkniętej, zamieniając sumę logarytmów szeregu na logarytm szeregu iloczynu promieni wądzących \(\displaystyle{ r_{i}}\).
Pewnie tak właśnie się stało. Póki co nie wnikajmy czy tak w ogóle można... po inżyniersku szereg logarytmów to zawsze logarytm iloczynu. Kwestie zbieżności nas nie interesują. Ale zgadzamy się, że kiedyś kwestią zbieżności wypadało by się przyjrzeć?
janusz47 pisze: 12 lut 2022, o 13:34 Aby ujednorodnić funkcję prądu \(\displaystyle{ \Psi }\) i punktowe wiry \(\displaystyle{ \Gamma_{i} }\) "uciąglić" do postaci współśrodkowych okręgów
@maciek_r10 jak rozumiesz to zdanie? Ja tego zdania nie rozumiem. Ja nie chcę być złośliwy czy coś. Pytam się serio bo ja nie wiem o co tu chodzi nawet intuicyjnie.
janusz47 pisze: 12 lut 2022, o 13:34 zastosowano ścieżkę wirową Karmana, polegającą na przedstawieniu \(\displaystyle{ r_{i} }\) w postaci funkcji \(\displaystyle{ \exp() }\)
Pokazujemy coś o ścieżce wirowej na podstawie ścieżki wirowej? I ma to działać na postawie zamiany liczby \(\displaystyle{ r_i}\) na postać wykładniczą? Ale jak dokładnie? Czym jest \(\displaystyle{ r_i}\) promieniem punktem \(\displaystyle{ i}\)- tego wiru? Skoro zamieniamy to na liczbę zespolona w postaci wykładniczej to domyślam się, że nie jest to trywialny zapis i \(\displaystyle{ \arg(r_i) \neq 0}\)? Bo gdyby \(\displaystyle{ \arg(r_i)= 0}\) a od początku tego postu mam wrażanie, że tak jest to po co w ogóle to robić? Czy to jest w ogóle jednoznaczne \(\displaystyle{ \exp(...+2k\pi i)}\) też zadziała?
janusz47 pisze: 12 lut 2022, o 13:34 zapisując sumę szeregu w postaci różnicy kosinusa hiperbolicznego i zwykłego kosinusa.
Taką metodą można dowieść każdego wzoru \(\displaystyle{ e^{i \alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }\) ponieważ exponentę zapisujemy jako kosinus i sinus. Ale ok tu przynajmniej wiem o co chodzi mniej więcej... jak sobie poprzekształcam wzorki to mi wyjdzie \(\displaystyle{ \cosh}\) oraz \(\displaystyle{ \cos}\). W to jestem wstanie uwierzyć. Może nawet umiałbym to zrobić jak bym miał dobry dzień.
janusz47 pisze: 12 lut 2022, o 13:34 Pierwsza z tych funkcji odnosi się do kierunku zgodnego z osią \(\displaystyle{ Oy }\) - druga z osią \(\displaystyle{ Ox.}\)
@maciek_r10 wiesz o jakich funkcja mowa i co to znaczy, że te funkcje się do czegoś "odnoszą"?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2022, o 15:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
maciek_r10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Re: Ścieżka wirowa Karmana

Post autor: maciek_r10 »

Janusz Tracz
Nie chciałbym dostać pełnej odpowiedzi tylko, żebym miał możliwość się sam nad tym pogłowić. Na razie ważne sprawy nie pozwalają mi się tym zająć, ale kiedy wszystko wyprowadzę sam, to pozwolę sobie tu efekty opublikować krok po kroku. Z pobieżnego oglądu wychodzi mi, że wyrażenie logarytmowane przedstawia promień wodzący \(\displaystyle{ r_{i} }\) wyrażony w wyniku zastosowania tw. Pitagorasa.
ODPOWIEDZ