Przerabiam teraz w ramach samokształcenia "Podstawy mechaniki płynów" Ryszarda Grybosia, wydanie PWN z 1989 roku. W rozdziale traktującym o przepływach potencjalnych, autor wyprowadza funkcję prądu dla ścieżki wirowej Karmana.
Ścieżka wirowa Karmana to nieskończony zbiór pojedynczych wirów o jednakowej cyrkulacji \(\displaystyle{ \Gamma}\) pokrywających się z osią 0x i rozmieszczonych w jednakowej odległości od siebie a. Jest to zagadnienie płaskie co jego badanie znacznie upraszcza. Cała ścieżka wirów indukuje w punkcie \(\displaystyle{ P(x, y)}\) przepływ, któremu odpowiada funkcja prądu
\(\displaystyle{ \psi=- C \sum_{i=1}^{ \infty }\ln r _{i} . }\)
Rozumiem przy tym, że:
\(\displaystyle{ C= \frac{\Gamma}{2\pi} }\)
Indeksem \(\displaystyle{ i}\) oznaczono kolejny wir, natomiast \(\displaystyle{ r _{i} }\) to poprowadzony do niego z punktu \(\displaystyle{ P(x, y)}\), promień wodzący.
"Występującą tu sumę funkcji logarytmicznych można przedstawić w postaci zamkniętej
\(\displaystyle{ \psi=- \frac{1}{2} C \ln\left( \frac{1}{2}\cosh\frac{2\pi y}{a}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a} \right). }\)"
Nie ma w tym miejscu żadnego odsyłacza do jakiejkolwiek pozycji w bibliografii, byłbym więc wdzięczny za naprowadzenie/wskazanie toku rozumowania w wyniku którego uzyskano tę "postać zamkniętą". Z góry dziękuję!
Ścieżka wirowa Karmana
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Ścieżka wirowa Karmana
Występującą sumę funkcji logarytmicznych przedstawiono w postaci, zamkniętej, zamieniając sumę logarytmów szeregu na logarytm szeregu iloczynu promieni wądzących \(\displaystyle{ r_{i}}\).
Aby ujednorodnić funkcję prądu \(\displaystyle{ \Psi }\) i punktowe wiry \(\displaystyle{ \Gamma_{i} }\) "uciąglić" do postaci współśrodkowych okręgów (w celu - obliczania prędkości, natężenia, cyrkulacji pola prądu) - zastosowano ścieżkę wirową Karmana, polegającą na przedstawieniu \(\displaystyle{ r_{i} }\) w postaci funkcji \(\displaystyle{ \exp() }\) i zapisując sumę szeregu w postaci różnicy kosinusa hiperbolicznego i zwykłego kosinusa.
Pierwsza z tych funkcji odnosi się do kierunku zgodnego z osią \(\displaystyle{ Oy }\) - druga z osią \(\displaystyle{ Ox.}\)
Aby ujednorodnić funkcję prądu \(\displaystyle{ \Psi }\) i punktowe wiry \(\displaystyle{ \Gamma_{i} }\) "uciąglić" do postaci współśrodkowych okręgów (w celu - obliczania prędkości, natężenia, cyrkulacji pola prądu) - zastosowano ścieżkę wirową Karmana, polegającą na przedstawieniu \(\displaystyle{ r_{i} }\) w postaci funkcji \(\displaystyle{ \exp() }\) i zapisując sumę szeregu w postaci różnicy kosinusa hiperbolicznego i zwykłego kosinusa.
Pierwsza z tych funkcji odnosi się do kierunku zgodnego z osią \(\displaystyle{ Oy }\) - druga z osią \(\displaystyle{ Ox.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Ścieżka wirowa Karmana
Ja tej odpowiedzi nie rozumiem. W sensie to jest zreferowanie tego co się stało ale dla mnie to nie jest wyjaśnienie. Jeśli maciek_r10 ta odpowiedź wyjaśnia Ci w szczegółach jak z jednego wzoru powstał drugi i umiałbyś to teraz samodzielnie zrobić na jakimś egzaminie, to ok, wtedy proszę zignorować to co dalej piszę.
Pewnie tak właśnie się stało. Póki co nie wnikajmy czy tak w ogóle można... po inżyniersku szereg logarytmów to zawsze logarytm iloczynu. Kwestie zbieżności nas nie interesują. Ale zgadzamy się, że kiedyś kwestią zbieżności wypadało by się przyjrzeć?
@maciek_r10 jak rozumiesz to zdanie? Ja tego zdania nie rozumiem. Ja nie chcę być złośliwy czy coś. Pytam się serio bo ja nie wiem o co tu chodzi nawet intuicyjnie.
Pokazujemy coś o ścieżce wirowej na podstawie ścieżki wirowej? I ma to działać na postawie zamiany liczby \(\displaystyle{ r_i}\) na postać wykładniczą? Ale jak dokładnie? Czym jest \(\displaystyle{ r_i}\) promieniem punktem \(\displaystyle{ i}\)- tego wiru? Skoro zamieniamy to na liczbę zespolona w postaci wykładniczej to domyślam się, że nie jest to trywialny zapis i \(\displaystyle{ \arg(r_i) \neq 0}\)? Bo gdyby \(\displaystyle{ \arg(r_i)= 0}\) a od początku tego postu mam wrażanie, że tak jest to po co w ogóle to robić? Czy to jest w ogóle jednoznaczne \(\displaystyle{ \exp(...+2k\pi i)}\) też zadziała?
Taką metodą można dowieść każdego wzoru \(\displaystyle{ e^{i \alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }\) ponieważ exponentę zapisujemy jako kosinus i sinus. Ale ok tu przynajmniej wiem o co chodzi mniej więcej... jak sobie poprzekształcam wzorki to mi wyjdzie \(\displaystyle{ \cosh}\) oraz \(\displaystyle{ \cos}\). W to jestem wstanie uwierzyć. Może nawet umiałbym to zrobić jak bym miał dobry dzień.
@maciek_r10 wiesz o jakich funkcja mowa i co to znaczy, że te funkcje się do czegoś "odnoszą"?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2022, o 15:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Re: Ścieżka wirowa Karmana
Nie chciałbym dostać pełnej odpowiedzi tylko, żebym miał możliwość się sam nad tym pogłowić. Na razie ważne sprawy nie pozwalają mi się tym zająć, ale kiedy wszystko wyprowadzę sam, to pozwolę sobie tu efekty opublikować krok po kroku. Z pobieżnego oglądu wychodzi mi, że wyrażenie logarytmowane przedstawia promień wodzący \(\displaystyle{ r_{i} }\) wyrażony w wyniku zastosowania tw. Pitagorasa.Janusz Tracz