Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: CaffeeLatte »

Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{3+x} }\) w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 1}\). Odczytaj z rozwinięcia wartości piątej i szóstej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 1}\). Podaj przedział zbieżności otrzymanego szeregu.

Domyślam się ze trzeba tu skorzystać z szeregu geometrycznego: \(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{ \infty } x^n = \frac{1}{1-x} }\) ale nie wiem jak to przekształcić, żeby coś sensownego wyszło
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: Premislav »

Dobrze się domyślasz. Wskazówka:
\(\displaystyle{
\frac x{3+x}=\frac{x}{3}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{3}\right)}}\)
i ten drugi czynnik rozwiń ze wspomnianego wzoru.
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: CaffeeLatte »

wyszło mi coś takiego: \(\displaystyle{ \frac{x}{3} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \cdot ( \frac{x}{3} )^n}\), tak powinno być?

Dodano po 18 minutach 37 sekundach:
a jakbym miał żeby rozwinąć w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 2}\) to jakby to miało wyglądać?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: Premislav »

Aj, to jest zła wskazówka, mea culpa, nie wiem, czemu ubzdurało mi się, że rozwijamy wokół \(\displaystyle{ x_{0}=0}\), przecież miałeś rozwinąć wokół \(\displaystyle{ x_{0}=1}\). Będzie tak:
\(\displaystyle{ \frac x{3+x}=\frac{(x-1)+1}{4+(x-1)}=\frac{(x-1)+1}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x-1}{4}\right)}\\=\ldots}\)

Natomiast jeśli chcesz rozwinąć wokół \(\displaystyle{ x_{0}=2}\), to dążysz do takich przekształceń, żeby mieć \(\displaystyle{ \sum (x-2)^n}\) z jakimiś współczynnikami, czyli
\(\displaystyle{ \frac{x}{3+x}=\frac{(x-2)+2}{5+(x-2)}=\frac{(x-2)+2}{5}\cdot \frac 1 {1-\left(-\frac{x-2}{5}\right)}\ldots}\)
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: CaffeeLatte »

Teraz wyszło mi coś takiego: \(\displaystyle{ \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^n \cdot (x-1)^n }\) tak powinno wyjść?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2021, o 17:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: Premislav »

To jest pewien etap w rozwiązaniu, ale jeszcze nie końcowa forma. Chcesz mieć wszak formę
\(\displaystyle{ \sum a_{n}(x-1)^n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) nie zależą od iksa, a to jeszcze w takiej nie jest.

Ponieważ \(\displaystyle{ \frac x 4=\frac{(x-1)+1}{4}}\), więc wewnątrz przedziału zbieżności tego szeregu (czyli dla \(\displaystyle{ |x-1|<1}\)) można zapisać:
\(\displaystyle{ \frac x 4\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{4}\right)^n (x-1)^n\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}} (x-1)^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}} (x-1)^{n}\\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}} (x-1)^{n+1}+\frac 1 4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}} (x-1)^{n}}\).
Teraz w tej pierwszej sumie przesuwamy indeksy i łączymy dwie duże sumy w jedną.
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: CaffeeLatte »

spróbowałem zrobić tak jak powiedziałeś ale coś dziwnego mi wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{x}{4} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n \cdot x(x-1)^n}{4^{n+1}} }\)

Dodano po 22 godzinach 45 minutach 6 sekundach:
Sprawdzi ktoś czy dobrze myślę?
Ostatnio zmieniony 26 sie 2021, o 17:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: Premislav »

No nie za bardzo, wszak chodziło o przedstawienie tego jako funkcji od \(\displaystyle{ x-1}\).

Kontynuując:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(x-1)^{n+1}+\frac 1 4+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(x-1)^n\\=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}}(x-1)^{n}+\frac 1 4+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(x-1)^n\\=\frac 1 4+\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{(-1)^{n-1}}{4^n}+\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}\right)(x-1)^n\\=\frac 1 4+\sum_{n=1}^{+\infty}3\cdot\left(-\frac 1 4\right)^{n+1}(x-1)^n}\).

Co do przedziału zbieżności, tw. Cauchy'ego-Hadamarda jest ogólną metodą (, ale to trochę overkill, bo pod kątem badania zbieżności masz praktycznie szereg geometryczny (zaburzony przez tę jedną czwartą). Natomiast jeśli chodzi o obliczenie pochodnych, to trzeba uzyskaną formę porównać ze wzorkiem
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n}\) wyraz po wyrazie (bo rozwinięcie funkcji klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) w szereg Taylora wokół określonego punktu jest jednoznaczne). Czyli na przykład jeśli chcesz mieć szóstą pochodną, to masz równanie
\(\displaystyle{ \frac{f^{(6)}(1)}{6!}=3\cdot\left(-\frac 1 4\right)^{6+1}}\), z którego bez problemu wyliczasz \(\displaystyle{ f^{(6)}(1)}\).
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: CaffeeLatte »

Dzięki za pomoc, jednak znalazłem trochę lepszy sposób na przekształcenie tej funkcji, tak żeby łatwo otrzymać szereg :D
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{3+x} = 1- \frac{3}{3+x} }\)
i dalej już łatwo :)

Dodano po 1 dniu 1 godzinie 14 minutach 16 sekundach:
Jeszcze mam problem z taką funkcją \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} }\) jak ją fajnie przekształcić żeby wyszedł szereg taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_0 = 3}\) ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwijanie w szereg taylora bez liczenia pochodnych

Post autor: Premislav »

Mamy
\(\displaystyle{ -\frac{1}{1+x}=-\frac{1}{4+(x-3)}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+\frac{x-3}{4}}\\=-\frac 1 4\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{4^n}}\).
Terz zróżniczkuj to stronami po \(\displaystyle{ x}\) (szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności różniczkujemy wyraz po wyrazie).

Dodano po 10 godzinach 43 minutach 49 sekundach:
Przepraszam, zgubiłem \(\displaystyle{ (-1)^n}\), powinno być
\(\displaystyle{ -\frac{1}{1+x}=-\frac 1 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-3)^n}{4^n}}\). :( Byłem zbyt zmęczony na pisanie, jak widać.
ODPOWIEDZ