przedział zbieżności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

przedział zbieżności

Post autor: ann_u »

Wyznacz przedział zbieżności szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n\geq 1}x^n \ln \frac {\ln(n+1)}{\ln (n)}}\)
Ostatnio zmieniony 24 cze 2021, o 19:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: przedział zbieżności

Post autor: Janusz Tracz »

Dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1 }\) zbieżność jest oczywista. Jeśli natomiast \(\displaystyle{ |x|>1}\) to szereg jest rozbieżny na mocy warunku koniecznego, tu przydatny może być lemat

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right) }{ \frac{1}{n\ln n} } =1. }\)
Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ |x|>1}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x^n \frac{1}{n\ln n} \cdot \frac{\ln \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right) }{ \frac{1}{n\ln n} } \neq 0. }\)

Zostaje więc brzeg. Dla \(\displaystyle{ x=1}\) działa lemat tylko trzeba wysłowić to w kontekście kryterium ilorazowego. Zatem mamy rozbieżność dla \(\displaystyle{ x=1}\). A dla \(\displaystyle{ x=-1}\) powinno zadziałać kryterium Leibniza.
ODPOWIEDZ