Suma, promień zbieżności szeregu potęgowego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
iapko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 1 gru 2020, o 14:12
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 13 razy

Suma, promień zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: iapko »

Obliczyć sumę i promień zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+nx^{3n} }\). Na jakich przedziałach \(\displaystyle{ \left[a,b\right] }\) jest on zbieżny jednostajnie?

Bardzo proszę o pomoc jak sensownie zapisać taki szereg w postaci \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_{n}\left(x-x_{0}\right) }\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Suma, promień zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: Janusz Tracz »

Zobacz czy
\(\displaystyle{ \sum \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+nx^{3n}=\sum \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+n\chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }(n)x^{n}= \sum_{}^{} \left( \frac{2^{n}}{n\left(n+2\right)}+n\chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }(n)\right) x^n}\)
nie będzie pomocne. Jak coś to \(\displaystyle{ \chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }}\) to funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \left\{0,3,6,... \right\}}\). Potem policz \(\displaystyle{ \lambda=\limsup_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\left| a_n\right| } }\) wtedy promieniem zbieżności będzie \(\displaystyle{ R=1/\lambda}\). Jeśli o zbieżność chodzi to szeregi potęgowe są zbieżne niemal jednostajnie w swoim kole zbieżność \(\displaystyle{ R}\) zatem są zbieżne jednostajnie na zwartych podzbiorach takich jak \(\displaystyle{ [a,b]}\).
ODPOWIEDZ