Obliczyć sumę i promień zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+nx^{3n} }\). Na jakich przedziałach \(\displaystyle{ \left[a,b\right] }\) jest on zbieżny jednostajnie?
Bardzo proszę o pomoc jak sensownie zapisać taki szereg w postaci \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_{n}\left(x-x_{0}\right) }\).
Suma, promień zbieżności szeregu potęgowego
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Suma, promień zbieżności szeregu potęgowego
Zobacz czy
\(\displaystyle{ \sum \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+nx^{3n}=\sum \frac{2^{n}x^{n}}{n\left(n+2\right)}+n\chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }(n)x^{n}= \sum_{}^{} \left( \frac{2^{n}}{n\left(n+2\right)}+n\chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }(n)\right) x^n}\)
nie będzie pomocne. Jak coś to \(\displaystyle{ \chi_{\left\{0,3,6,... \right\} }}\) to funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \left\{0,3,6,... \right\}}\). Potem policz \(\displaystyle{ \lambda=\limsup_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\left| a_n\right| } }\) wtedy promieniem zbieżności będzie \(\displaystyle{ R=1/\lambda}\). Jeśli o zbieżność chodzi to szeregi potęgowe są zbieżne niemal jednostajnie w swoim kole zbieżność \(\displaystyle{ R}\) zatem są zbieżne jednostajnie na zwartych podzbiorach takich jak \(\displaystyle{ [a,b]}\).