Właśnie miałam problem z zapisem, ale w przypadku kiedy x zmierza do 0 granica wynosi 1, w przeciwnym wynosi 0. Z tego co zrozumiałam w zbieżności punktowej nie muszę tego rozdzielać na przypadki.
To jest mało precyzyjne. I generalnie nieprawdziwe. Problem w tym, że granice
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n, \quad \lim_{n \to \infty } \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n,\quad \lim_{x \to 0 \\ n \to \infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n}\)
nie muszą być równe, mogą nie istnieć i niezbyt pomagają w określeniu zbieżności. Aby zbadać zbieżność jednostajną musisz dobrze określić do jakiej funkcji
\(\displaystyle{ f}\) Twój ciąg funkcyjny
\(\displaystyle{ f_n}\) zbiega punktowo. A to robimy przy ustalonym
\(\displaystyle{ x}\) z jakiegoś zbioru na którym zbieżność badasz. Wiec ustalamy konkretne
\(\displaystyle{ x\in (0,1]}\) nazwijmy je
\(\displaystyle{ \clubsuit}\) i liczymy
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{\sin \clubsuit}{\clubsuit} \right)^n }\)
nie ma znaczenia czy ile konkretnie wynosi
\(\displaystyle{ \clubsuit}\) widać (co wynika z nierówności
\(\displaystyle{ \sin x<x}\) na
\(\displaystyle{ x>0}\)), że
\(\displaystyle{ 0<\sin \clubsuit/\clubsuit<1}\) zatem
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{\sin \clubsuit}{\clubsuit} \right)^n =0}\)
zatem punktowo
\(\displaystyle{ f_n}\) zbiega do
\(\displaystyle{ f\equiv 0}\). Teraz można przejść do badania zbieżności jednostajnej. I tu już nie wybierasz konkretnego
\(\displaystyle{ x}\) tylko sprawdzasz, czy
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sup_{x\in X} \left| f_n(x)-f(x)\right|=0 }\)
czyli tu konkretnie sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sup_{x\in ( 0,1 ]} \left| \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n \right|=0 }\)
i teraz metod jest wiele. Można próbować to supremum jakoś policzyć i zobaczyć kiedy jest realizowane. Ale można czasem potestować jakieś konkretne ciągi
\(\displaystyle{ x=x_n}\). Można to robić bo w dla dowolnego ciągu
\(\displaystyle{ \left\{ x_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset X }\) mamy nierówność
\(\displaystyle{ \left( \forall n \in \NN\right) \sup_{x\in X} \left| f_n(x)-f(x)\right| \ge \left| f_n(x_n)-f(x_n)\right| }\)
oczywiście to nie posłuży do potwierdzenia zbieżności jednostajnej ale może się przedąć by ją obalić. I tu pomysł z
\(\displaystyle{ x_n=1/n}\) jest dobry bo faktycznie w okolicy zera jest
problem. A formalnie potwierdza to policzenie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{\sin \frac{1}{n} }{\frac{1}{n}} \right)^n }\)
i teraz tę granicę powinnaś policzyć.