Zbieżność jednostajna i punktowa

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
kajusia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 22 kwie 2021, o 19:11
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: kajusia » 14 maja 2021, o 19:01

\(\displaystyle{ f_{n}(x)=\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{n}}\), \(\displaystyle{ x \in (0,1]}\) Sprawdź zbieżność jednostajną i punktową ciągu.

Obliczyłam granice: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^{n} = \begin{cases} 1, x->0 \\ 0, x \in (0,1] \end{cases} }\) - nie jestem pewna czy poprawnie podzieliłam zbiory \(\displaystyle{ x}\)

Mam jednak problem z obliczeniem \(\displaystyle{ w _{n}=\sup\left|(\frac{\sin(x)}{x})^{n} -0 \right|}\).
Próbuje coś kombinować z \(\displaystyle{ x \in [q,1] : q>0}\) ale nie wiem za bardzo jak się za to zabrać.
Ostatnio zmieniony 14 maja 2021, o 21:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Nie używaj wzorów w tytule tematu.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 493 razy

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Tmkk » 14 maja 2021, o 19:21

W zbieżności punktowej nie musisz badać, co się dzieje, kiedy \(\displaystyle{ x \to 0}\).

W zbieżności jednostajnej, wszystko psuje się, kiedy właśnie \(\displaystyle{ x}\) jest blisko \(\displaystyle{ 0}\). Zobacz, co się dzieje, jak bedziesz tam podchodzić po jakimś ciągu, który lubisz, np \(\displaystyle{ x_n = \frac{1}{n}}\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Janusz Tracz » 14 maja 2021, o 19:23

kajusia pisze:
14 maja 2021, o 19:01
Obliczyłam granice: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^{n} = \begin{cases} 1, x->0 \\ 0, x \in (0,1] \end{cases} }\)
A co to oznacza?

kajusia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 22 kwie 2021, o 19:11
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: kajusia » 14 maja 2021, o 19:46

Janusz Tracz pisze:
14 maja 2021, o 19:23
kajusia pisze:
14 maja 2021, o 19:01
Obliczyłam granice: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^{n} = \begin{cases} 1, x->0 \\ 0, x \in (0,1] \end{cases} }\)
A co to oznacza?
Właśnie miałam problem z zapisem, ale w przypadku kiedy x zmierza do 0 granica wynosi 1, w przeciwnym wynosi 0. Z tego co zrozumiałam w zbieżności punktowej nie muszę tego rozdzielać na przypadki.

Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
Tmkk pisze:
14 maja 2021, o 19:21
W zbieżności punktowej nie musisz badać, co się dzieje, kiedy \(\displaystyle{ x \to 0}\).

W zbieżności jednostajnej, wszystko psuje się, kiedy właśnie \(\displaystyle{ x}\) jest blisko \(\displaystyle{ 0}\). Zobacz, co się dzieje, jak bedziesz tam podchodzić po jakimś ciągu, który lubisz, np \(\displaystyle{ x_n = \frac{1}{n}}\).

Podstawiając coraz większe n wychdzi mi, że sup dąży do \(\displaystyle{ 1 ^{n} }\). Czy musze to dodatkowo argumetować?
Ostatnio zmieniony 14 maja 2021, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Janusz Tracz » 14 maja 2021, o 20:23

Właśnie miałam problem z zapisem, ale w przypadku kiedy x zmierza do 0 granica wynosi 1, w przeciwnym wynosi 0. Z tego co zrozumiałam w zbieżności punktowej nie muszę tego rozdzielać na przypadki.
To jest mało precyzyjne. I generalnie nieprawdziwe. Problem w tym, że granice

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n, \quad \lim_{n \to \infty } \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n,\quad \lim_{x \to 0 \\ n \to \infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n}\)

nie muszą być równe, mogą nie istnieć i niezbyt pomagają w określeniu zbieżności. Aby zbadać zbieżność jednostajną musisz dobrze określić do jakiej funkcji \(\displaystyle{ f}\) Twój ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega punktowo. A to robimy przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) z jakiegoś zbioru na którym zbieżność badasz. Wiec ustalamy konkretne \(\displaystyle{ x\in (0,1]}\) nazwijmy je \(\displaystyle{ \clubsuit}\) i liczymy
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{\sin \clubsuit}{\clubsuit} \right)^n }\)

nie ma znaczenia czy ile konkretnie wynosi \(\displaystyle{ \clubsuit}\) widać (co wynika z nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x}\) na \(\displaystyle{ x>0}\)), że \(\displaystyle{ 0<\sin \clubsuit/\clubsuit<1}\) zatem

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \frac{\sin \clubsuit}{\clubsuit} \right)^n =0}\)

zatem punktowo \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ f\equiv 0}\). Teraz można przejść do badania zbieżności jednostajnej. I tu już nie wybierasz konkretnego \(\displaystyle{ x}\) tylko sprawdzasz, czy
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sup_{x\in X} \left| f_n(x)-f(x)\right|=0 }\)
czyli tu konkretnie sprawdzamy czy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sup_{x\in ( 0,1 ]} \left| \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n \right|=0 }\)

i teraz metod jest wiele. Można próbować to supremum jakoś policzyć i zobaczyć kiedy jest realizowane. Ale można czasem potestować jakieś konkretne ciągi \(\displaystyle{ x=x_n}\). Można to robić bo w dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ \left\{ x_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset X }\) mamy nierówność

\(\displaystyle{ \left( \forall n \in \NN\right) \sup_{x\in X} \left| f_n(x)-f(x)\right| \ge \left| f_n(x_n)-f(x_n)\right| }\)

oczywiście to nie posłuży do potwierdzenia zbieżności jednostajnej ale może się przedąć by ją obalić. I tu pomysł z \(\displaystyle{ x_n=1/n}\) jest dobry bo faktycznie w okolicy zera jest problem. A formalnie potwierdza to policzenie granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{\sin \frac{1}{n} }{\frac{1}{n}} \right)^n }\)

i teraz tę granicę powinnaś policzyć.

kajusia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 22 kwie 2021, o 19:11
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: kajusia » 14 maja 2021, o 20:58

O teraz już rozumiem! Pięknie dziękuję za wyczerpującą odpowiedź:)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: a4karo » 15 maja 2021, o 11:40

Tu akurat dużo prościej jest zauważyć, że dla każdego `n` funkcja `f_n` przyjmuje w okolicy zera wartości dowolnie bliskie jedynce, zatem ciąg nie może zbiegać jednostajnie do zera. NB. policzenie granicy sugerowanej przez JT nie jest najprostszym zadaniem.

ODPOWIEDZ