Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{x}{n} }\)
Wydawało mi się, że wystarczy skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \left| \sin \frac{x}{n} \right| \le \left| \frac{x}{n} \right| }\), i oszacować szereg przez szereg zbieżny i Weierstrass.
Ale odpowiedź jest, że nie jest zbieżny jednostajnie.
Jakby ktoś mógł pokazać, gdzie mam błąd i ewentualnie dać jakaś wskazówkę.
zbieżność jednostajna z sinusem
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
zbieżność jednostajna z sinusem
Ostatnio zmieniony 9 maja 2021, o 19:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: zbieżność jednostajna z sinusem
Aby użyć twierdzenia Weierstrassa, to w tym majoryzującym wyrazie nie może być żadnego \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ \frac{|x|}{n^2}}\) nie jest dobrym kandydatem. Gdyby sytuacja miałaby miejsce na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) to byłoby prosto, ale skoro musisz sprawdzić zbieżność na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to to nie działa.
Wskazówka: spróbuj pokazać, że nie jest spełniony warunek Cauchy'ego.
Wskazówka: spróbuj pokazać, że nie jest spełniony warunek Cauchy'ego.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: zbieżność jednostajna z sinusem
Tylko mam problem, żeby sinusa dobrze ograniczyć i zastanawiam się, czy nie lepiej byłoby spróbować nie wprost i szukać sprzeczności.
Chyba, że da się to jakoś łatwo oszacować.
Chyba, że da się to jakoś łatwo oszacować.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: zbieżność jednostajna z sinusem
No ale wiesz już, że NIE jest jednostajnie zbieżny, więc co tu ograniczać? I co chciałbyś dowodzić nie wprost?
Sprawdź, co z definicji znaczy, że szereg nie jest jednostajnie zbieżny.
JK
Sprawdź, co z definicji znaczy, że szereg nie jest jednostajnie zbieżny.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: zbieżność jednostajna z sinusem
Widziałem definicję i trzeba tam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha }\) dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \left| f_{n} \left( x\right)- f_{m} \left( x\right) \right| \ge \alpha }\)
Albo skoro ma być większe dla dowolnego \(\displaystyle{ n,m}\) to czy możemy na przykład ustalić \(\displaystyle{ n=[x]}\) a potem ustalić epsilon jako np. \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)? Czy w ogóle źle myślę o Cauchym.
Albo skoro ma być większe dla dowolnego \(\displaystyle{ n,m}\) to czy możemy na przykład ustalić \(\displaystyle{ n=[x]}\) a potem ustalić epsilon jako np. \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)? Czy w ogóle źle myślę o Cauchym.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: zbieżność jednostajna z sinusem
To zapisz tę definicję jeszcze raz, porządnie ze wszystkimi kwantyfikatorami, a potem ponownie odpowiedz na to pytanie. Bo Twoje pytanie wskazuje na to, że zupełnie ignorujesz kwantyfikatory i ich kolejność.Pietras2001 pisze: ↑9 maja 2021, o 21:32 Widziałem definicję i trzeba tam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha }\) dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \left| f_{n} \left( x\right)- f_{m} \left( x\right) \right| \ge \alpha }\)
JK