rozklad eksponenty

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
nie_lubie_kleru
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 18:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

rozklad eksponenty

Post autor: nie_lubie_kleru » 5 maja 2021, o 23:24

Nie bardzo tu to zadanie pasuje, ale nie wiedzialam gdzie go umiescic, przepraszam.

Trzeba znalezc liczby A, B, C, D takie, ze
\(\displaystyle{ e^x=\frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2}+o(x^4)}\)

Najpierw zabralam sie zywo do obliczen, zeby porownac wspolczynniki przy jednakowych potegach. Cos tam wyszlo, ale potem zaczelam sie zastanawiac i doszlam do wniosku, ze ja tego zadania nie rozumiem. Funkcja eksponencjalna jest analityczna. A tu ma byc suma wyrazenia, ktore ma bieguny, i ogona \(\displaystyle{ o(x^4)}\). Jesli przyjac, ze C=D=0, to tez nie wyjdzie, bo nie bedzie wyrazu z \(\displaystyle{ x^3}\) i \(\displaystyle{ x^4}\).
Moze ktos madry mnie oswieci, bede wdzieczna.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: Dasio11 » 6 maja 2021, o 17:13

Z równości szeregów potęgowych

\(\displaystyle{ \big( 1+Cx+Dx^2 \big) \left( 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \right) = 1+Ax+Bx^2 + \big( 1+Cx+Dx^2 \big) p(x)}\)

wyznacz stałe \(\displaystyle{ A, B, C, D}\), wiedząc że \(\displaystyle{ p(x)}\) jest funkcją typu \(\displaystyle{ o(x^4)}\).

nie_lubie_kleru pisze:
5 maja 2021, o 23:24
Funkcja eksponencjalna jest analityczna. A tu ma byc suma wyrazenia, ktore ma bieguny, i ogona \(\displaystyle{ o(x^4)}\).
Ten ogon "\(\displaystyle{ o(x^4)}\)" też może mieć bieguny, które skrócą się z poprzednimi. Jedyne ograniczenie na to, czym może być ta funkcja, to założenie, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{p(x)}{x^4} = 0}\).

nie_lubie_kleru
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 18:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: nie_lubie_kleru » 6 maja 2021, o 17:45

Dzieki. :)Ja tak wlasnie liczylam, z rownosci szeregow potegowych. Nie dobrnelam do konca, bo nie moglam sobie wyobrazic wlasnie tego, ze ow ogon, bedacy o male od \(\displaystyle{ x^4}\), moze zawierac funkcje z biegunami. Heh, i dalej nie moge. Rozpisalam to sobie teraz jeszcze raz i nie moge sie w prawej stronie rownania dopatrzyc wyrazow postaci \(\displaystyle{ ax^3}\) i \(\displaystyle{ bx^4 }\) , czyli brak mi rownan do wyznaczenia stalych \(\displaystyle{ A, B, C , D}\). Podpowiesz jezscze slowko?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: Dasio11 » 6 maja 2021, o 22:24

Jest taka liczba w matematyce, która oznacza "brak czegoś". ;)

nie_lubie_kleru
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 18:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: nie_lubie_kleru » 8 maja 2021, o 17:36

Jak mozna byc taka kretynka)))
Dziekuje ci!
Wyszly te stale, ale nie daja mi spokoju te bieguny, a chcialabym zrozumiec, to przeciez najwazniejsze. Dlatego pozwole sobie zadac ci ostatnie pytanie: Czy moglbys podac przyklad funkcji \(\displaystyle{ o(x^4)}\), majacej biegun? Z gory dzieki.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: Dasio11 » 8 maja 2021, o 18:50

\(\displaystyle{ h(x) = \frac{x^5}{1-x}}\) jest \(\displaystyle{ o(x^4)}\) i ma biegun w jedynce.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1146 razy

Re: rozklad eksponenty

Post autor: Janusz Tracz » 8 maja 2021, o 20:00

To wygląda trochę jak Padé approximant. Kilka pierwszych rozwinięć \(\displaystyle{ e^x}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ e^x \approx \frac{\frac{x^2}{12}+\frac{x}{2}+1}{\frac{x^2}{12}-\frac{x}{2}+1}}\)
i dokładniej

\(\displaystyle{ e^x \approx\frac{\frac{x^{10}}{670442572800}+\frac{x^9}{6094932480}+\frac{x^8}{112869120}+\frac{x^7}{3255840}+\frac{7 x^6}{930240}+\frac{7 x^5}{51680}+\frac{7 x^4}{3876}+\frac{x^3}{57}+\frac{9 x^2}{76}+\frac{x}{2}+1}{\frac{x^{10}}{670442572800}-\frac{x^9}{6094932480}+\frac{x^8}{112869120}-\frac{x^7}{3255840}+\frac{7 x^6}{930240}-\frac{7 x^5}{51680}+\frac{7 x^4}{3876}-\frac{x^3}{57}+\frac{9 x^2}{76}-\frac{x}{2}+1}}\)

chociaż to raczej ciekawostka i się nie przyda w tym zadaniu.

ODPOWIEDZ