Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę rozwinąć w szereg Laurnera funkcję \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z-1)(z-2)}}\) w pierścieniu:
a) \(\displaystyle{ 1<\left|z\right|<2}\), b) \(\displaystyle{ 2<\left|z\right|<+ \infty }\), c) \(\displaystyle{ 0<\left|z-1\right|<1}\)
Problem polega na tym, że nie wiem nawet od czego mam zacząć.
Rozwinięcie w szereg Laurenta
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Rozwinięcie w szereg Laurenta
Zacznij od zapisania \(\displaystyle{ f}\) jako sumy ułamków prostych. Potem zidentyfikuj bieguny \(\displaystyle{ f}\). Potem stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego rozwijaj poszczególne ułamki proste tak aby ich rozwinięcia obowiązywały na interesujących Cię obszarach. Przykładowo w \(\displaystyle{ (a)}\) powinno wyjść coś takiego:
sztuczka polega na tym, że odpowiedni ułamek prosty zapisuje tak aby ostatecznie \(\displaystyle{ f}\) dana takimi szeregami była określona na \(\displaystyle{ 1<|z|<2}\).
\(\displaystyle{ f(x)=\underbrace{ -\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{z^n}{2^{n+1}} }_{\text{ część analityczna związana z } \left| z\right|<2 }+\underbrace{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{z^n} }_{\text{ część osobliwa związana z }1<\left| z\right| }}\)
sztuczka polega na tym, że odpowiedni ułamek prosty zapisuje tak aby ostatecznie \(\displaystyle{ f}\) dana takimi szeregami była określona na \(\displaystyle{ 1<|z|<2}\).