Rozwinięcie w szereg Laurenta

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Karol14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 7 cze 2018, o 16:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwinięcie w szereg Laurenta

Post autor: Karol14 »

Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę rozwinąć w szereg Laurnera funkcję \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z-1)(z-2)}}\) w pierścieniu:
a) \(\displaystyle{ 1<\left|z\right|<2}\), b) \(\displaystyle{ 2<\left|z\right|<+ \infty }\), c) \(\displaystyle{ 0<\left|z-1\right|<1}\)
Problem polega na tym, że nie wiem nawet od czego mam zacząć.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rozwinięcie w szereg Laurenta

Post autor: Janusz Tracz »

Zacznij od zapisania \(\displaystyle{ f}\) jako sumy ułamków prostych. Potem zidentyfikuj bieguny \(\displaystyle{ f}\). Potem stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego rozwijaj poszczególne ułamki proste tak aby ich rozwinięcia obowiązywały na interesujących Cię obszarach. Przykładowo w \(\displaystyle{ (a)}\) powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x)=\underbrace{ -\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{z^n}{2^{n+1}} }_{\text{ część analityczna związana z } \left| z\right|<2 }+\underbrace{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{z^n} }_{\text{ część osobliwa związana z }1<\left| z\right| }}\)

sztuczka polega na tym, że odpowiedni ułamek prosty zapisuje tak aby ostatecznie \(\displaystyle{ f}\) dana takimi szeregami była określona na \(\displaystyle{ 1<|z|<2}\).
ODPOWIEDZ