Wzór na sumę szeregu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Wzór na sumę szeregu

Post autor: qwerty355 »

Proszę o sprawdzenie, czy prawidłowo wyznaczyłem wzór na sumę szeregu i ewentualne wskazówki/uwagi co do mojego rozwiązania.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \left(n+2 \right)}{3^n} x^n =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n}\left(n+2\right) x^{n+1} \cdot x^{-1} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n}(x^{n+2})' = \frac{1}{x} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot n \cdot x^{n+2}\right)' = \frac{1}{x} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot x^3\right)' = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{x} \left(x^3\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot \left(x^n\right)'\right)' = \frac{1}{x} \left(x^3 \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot x^n\right)' \right)' = \frac{1}{x} \left(x^3 \left(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}x\right)^n \right)' \right)' = \frac{1}{x} \left(x^3 \left( \frac{1}{1- \frac{1}{3} x} \right)' \right)' = \frac{1}{x} \left( \frac{ \frac{1}{3}x^3}{\left(1-\frac{1}{3} x\right)^2} \right)' = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{x} \left( \frac{x^2\left(1- \frac{1}{3}x\right)^2 - \frac{1}{3}x^3 \cdot 2 \left(1- \frac{1}{3}x\right) \cdot \left(- \frac{1}{3}\right) }{\left(1-\frac{1}{3} x\right)^4} \right) = \frac{x\left(1- \frac{1}{3}x\right)^2 + \frac{2}{9}x^2 \left(1- \frac{1}{3}x\right) }{\left(1-\frac{1}{3} x\right)^4} }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wzór na sumę szeregu

Post autor: Janusz Tracz »

Jest ok. To się upraszcza do \(\displaystyle{ \frac{3 x^2-27x}{(x-3)^3}}\).
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Wzór na sumę szeregu

Post autor: qwerty355 »

Dziękuję bardzo.
ODPOWIEDZ