Podać przedział zbieżności szeregu potęgowego

[Karol566]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n!)^3}{(3n)!}x^n}\)
Policzyłem promień zbieżności \(\displaystyle{ R=27}\)
Czyli dla
\(\displaystyle{ \left| x\right| <27}\) szereg zbieżny bezwzględnie
\(\displaystyle{ \left| x\right| >27}\) rozbieżny
Ale nie wiem jak sprawdzić dla \(\displaystyle{ x=27}\). Nie mogę dopasować kryterium porównawczego, a z d'Alamberta i Cauchyego dostaję \(\displaystyle{ g=1}\)

[Dasio11]

Wykaż, że ciąg jest rosnący, a więc nie spełnia warunku koniecznego.

[Karol566]

Jak mogę to zrobić? Licząc granice w nieskończoności nie skrócą mi się silnie, a zamieniając na funkcję nie policzę pochodnej z silni, żeby skorzystać z reguły d'Hospitala.
Czy jest on rosnący dla każdego x i moje obliczenia są błędne?

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{(n!)^{3}}{(3n)!}3^{3n}}\) wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\)
Po rozpisaniu \(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n!}\) itd. większość tych silni się upraszcza i rzecz sprowadza się do trywialnej nierówności wielomianowej.

[Karol566]

Rany rzeczywiście, a ja się koniecznie chciałem pchać w limesy. Dziękuję wam bardzo

[Janusz Tracz]

Można pokazać, że dla dużych \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy ciekawe szacowanie:

\(\displaystyle{ \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot 27^n \approx \frac{2 \pi }{\sqrt{3}}n +\frac{4 \pi }{9 \sqrt{3}}+\frac{4 \pi }{81 \sqrt{3} n}-\frac{28 \pi }{2187 \sqrt{3} n^2}-\frac{68 \pi }{19683 \sqrt{3} n^3}}\)

więc nawet gdyby dopisać \(\displaystyle{ \red{n^2}}\) w szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n!)^3}{(3n)! \cdot \red{n^2}} \cdot 27^n}\) to dalej byłby to szereg rozbieżny.

[Karol566]

Ciekawy sposób dowodu rozbieżności, a skąd bierze się takie przybliżenie silni?

[Janusz Tracz]

To raczej szkic do dowodu niż dowód (choć to dało by się sformalizować). Takie przybliżenia biorą się ze

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga

i ogólniej zapisywaniu silni za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \Gamma}\)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%93

(i rozwinięcie Taylora).